Misalkan AX = Ba adalah sebarang sistem persamaan-persamaan linear yang konsisten, dan misalkan X, adalah pemecahan tetap. Perlihatkan bahwa tiap-tiap pemecahan ter- hadap sistem tersebut dapat dituliskan dalam bentuk X = X + Xo di mana Xo adalah pemecahan terhadap AX0. Perlihatkan juga bahwa tiap-tiap matriks yang bentuk- nya seperti ini adalah sebuah pemecahan.

Untuk memahami solusi dari sistem persamaan linear konsisten \( AX = B \), kita dapat menggunakan konsep dasar dari solusi umum sistem persamaan linear.

Misalkan \( X \) adalah solusi khusus terhadap sistem \( AX = B \). Ini berarti bahwa:

\[
AX = B
\]

Sekarang, kita akan menunjukkan bahwa setiap solusi \( X' \) dari sistem ini dapat dinyatakan sebagai:

\[
X' = X + X_0
\]

di mana \( X_0 \) adalah solusi dari sistem homogen \( AX_0 = 0 \). Sistem homogen ini berarti bahwa kita mencari \( X_0 \) yang memuaskan \( AX_0 = 0 \), yaitu solusi dari sistem persamaan tanpa bagian konstanta.

### 1. Bentuk Solusi Umum

Karena \( AX = B \) adalah sistem persamaan yang konsisten, sistem ini memiliki solusi. Salah satu cara untuk menulis solusi dari sistem ini adalah dengan menambahkan solusi dari sistem homogen. Artinya, kita bisa menulis setiap solusi \( X' \) dari \( AX = B \) dalam bentuk:

\[
X' = X + X_0
\]

di mana \( X \) adalah solusi khusus dari \( AX = B \), dan \( X_0 \) adalah solusi dari sistem homogen \( AX_0 = 0 \). Sekarang, kita tunjukkan bahwa \( X' \) seperti ini adalah solusi dari \( AX = B \).

Substitusi \( X' = X + X_0 \) ke dalam persamaan asli \( AX = B \):

\[
A(X + X_0) = AX + AX_0
\]

Karena \( AX = B \) dan \( AX_0 = 0 \), kita dapat menyederhanakan persamaan ini menjadi:

\[
AX' = B + 0 = B
\]

Ini menunjukkan bahwa \( X' = X + X_0 \) memang solusi dari sistem \( AX = B \). Jadi, setiap solusi dari sistem tersebut dapat dituliskan dalam bentuk \( X + X_0 \), di mana \( X_0 \) adalah solusi dari sistem homogen \( AX_0 = 0 \).

### 2. Setiap Matriks dalam Bentuk \( X = X + X_0 \) adalah Solusi

Sekarang kita perlihatkan bahwa jika kita memiliki matriks \( X' \) yang dapat ditulis sebagai \( X' = X + X_0 \), maka \( X' \) adalah solusi dari sistem \( AX = B \).

Jika \( X' = X + X_0 \), maka:

\[
AX' = A(X + X_0) = AX + AX_0
\]

Seperti yang telah kita ketahui, \( AX = B \) dan \( AX_0 = 0 \), sehingga:

\[
AX' = B
\]

Ini membuktikan bahwa setiap matriks yang dapat dituliskan dalam bentuk \( X = X + X_0 \), di mana \( X_0 \) adalah solusi dari sistem homogen, merupakan solusi dari sistem \( AX = B \).

### Kesimpulan

Kita telah menunjukkan dua hal:

1. Setiap solusi dari sistem \( AX = B \) dapat dituliskan dalam bentuk \( X' = X + X_0 \), di mana \( X \) adalah solusi tetap dari \( AX = B \) dan \( X_0 \) adalah solusi dari sistem homogen \( AX_0 = 0 \).
2. Setiap matriks yang dapat dituliskan dalam bentuk \( X = X + X_0 \) adalah solusi dari sistem \( AX = B \).

Apakah Anda ingin penjelasan lebih rinci atau memiliki pertanyaan tentang langkah-langkah di atas?

Berikut beberapa pertanyaan terkait untuk latihan lebih lanjut:
1. Apa itu solusi homogen dalam sistem persamaan linear?
2. Bagaimana cara menentukan solusi tetap dalam sistem \( AX = B \)?
3. Apakah semua sistem persamaan linear memiliki solusi homogen?
4. Bagaimana jika sistem \( AX = B \) tidak konsisten, apa bentuk solusinya?
5. Bagaimana peran basis dari ruang solusi dalam sistem homogen?

**Tip**: Solusi homogen \( X_0 \) adalah solusi yang menggambarkan vektor dalam ruang kernel matriks \( A \), yang merupakan ruang solusi dari sistem \( AX_0 = 0 \).

Misalkan AX = Ba adalah sebarang sistem persamaan-persamaan linear yang konsisten, dan misalkan X, adalah pemecahan tetap. Perlihatkan bahwa tiap-tiap pemecahan terhadap sistem tersebut dapat dituliskan dalam bentuk X = X + Xo di mana Xo adalah pemecahan terhadap AX0. Perlihatkan juga bahwa tiap-tiap matriks yang bentuknya seperti ini adalah sebuah pemecahan.

Explore the solution of a consistent system of linear equations AX = B, and understand how any solution can be expressed as X = X + X_0, where X_0 is a solution of the homogeneous system AX_0 = 0. Learn how matrix equations and homogeneous systems are connected.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation