
Показать, что векторы à = 3+], b=47+] образуют базис пространства V2.Найти координаты вектора х = 37 - 8] в базисе {а,b}.

Давайте разберем вашу задачу шаг за шагом.

### Часть 1: Проверка, что векторы \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) образуют базис пространства \(V_2\)

Прежде всего, давайте запишем векторы \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\):

\[
\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix}.
\]

Чтобы векторы \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) образовывали базис, они должны быть **линейно независимыми**. Для этого нужно проверить, что их определитель (если это двумерное пространство) не равен нулю.

Вычислим определитель матрицы, составленной из векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\):

\[
\det \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 7 \end{pmatrix} = (3)(7) - (4)(1) = 21 - 4 = 17.
\]

Поскольку определитель не равен нулю (\(17 \neq 0\)), векторы \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) **линейно независимы** и, следовательно, **образуют базис** пространства \(V_2\).

---

### Часть 2: Нахождение координат вектора \(\mathbf{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ -8 \end{pmatrix}\) в базисе \(\{\mathbf{a}, \mathbf{b}\}\)

Нам нужно найти координаты вектора \(\mathbf{x}\) в базисе \(\{\mathbf{a}, \mathbf{b}\}\), то есть найти такие числа \(c_1\) и \(c_2\), что:

\[
\mathbf{x} = c_1 \mathbf{a} + c_2 \mathbf{b}.
\]

Подставляем значения векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\):

\[
\begin{pmatrix} 3 \\ -8 \end{pmatrix} = c_1 \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix}.
\]

Это даёт систему линейных уравнений:

\[
\begin{cases}
3c_1 + 4c_2 = 3, \\
c_1 + 7c_2 = -8.
\end{cases}
\]

Решим эту систему методом подстановки или методом исключения. Начнём с первого уравнения:

\[
3c_1 + 4c_2 = 3 \quad \text{(1)}.
\]

Из второго уравнения выразим \(c_1\):

\[
c_1 = -8 - 7c_2 \quad \text{(2)}.
\]

Подставим (2) в (1):

\[
3(-8 - 7c_2) + 4c_2 = 3,
\]
\[
-24 - 21c_2 + 4c_2 = 3,
\]
\[
-24 - 17c_2 = 3,
\]
\[
-17c_2 = 27,
\]
\[
c_2 = -\frac{27}{17}.
\]

Теперь подставим \(c_2 = -\frac{27}{17}\) в (2):

\[
c_1 = -8 - 7 \left(-\frac{27}{17}\right) = -8 + \frac{189}{17} = -\frac{136}{17} + \frac{189}{17} = \frac{53}{17}.
\]

---

### Ответ:
Координаты вектора \(\mathbf{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ -8 \end{pmatrix}\) в базисе \(\{\mathbf{a}, \mathbf{b}\}\) равны:

\[
\left( c_1, c_2 \right) = \left( \frac{53}{17}, -\frac{27}{17} \right).
\]

Показать, что векторы à = 3+], b=47+] образуют базис пространства V2.Найти координаты вектора х = 37 - 8] в базисе {а,b}.

Learn how to prove that two vectors form a basis for vector space V2 and find the coordinates of vector x in the basis {a, b}. This step-by-step solution covers linear independence, determinants, and solving systems of linear equations. Suitable for students in Grades 11-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation