Давайте разберем вашу задачу шаг за шагом.

Часть 1: Проверка, что векторы $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ образуют базис пространства $V_2$

Прежде всего, давайте запишем векторы $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$:

$\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix}.$

Чтобы векторы $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ образовывали базис, они должны быть линейно независимыми. Для этого нужно проверить, что их определитель (если это двумерное пространство) не равен нулю.

Вычислим определитель матрицы, составленной из векторов $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$:

$\det \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 7 \end{pmatrix} = (3)(7) - (4)(1) = 21 - 4 = 17.$

Поскольку определитель не равен нулю ($17 \neq 0$), векторы $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ линейно независимы и, следовательно, образуют базис пространства $V_2$.

---

Часть 2: Нахождение координат вектора $\mathbf{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ -8 \end{pmatrix}$ в базисе $\{\mathbf{a}, \mathbf{b}\}$

Нам нужно найти координаты вектора $\mathbf{x}$ в базисе $\{\mathbf{a}, \mathbf{b}\}$, то есть найти такие числа $c_1$ и $c_2$, что:

$\mathbf{x} = c_1 \mathbf{a} + c_2 \mathbf{b}.$

Подставляем значения векторов $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$:

$\begin{pmatrix} 3 \\ -8 \end{pmatrix} = c_1 \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix}.$

Это даёт систему линейных уравнений:

3c_1 + 4c_2 = 3, \\ c_1 + 7c_2 = -8. \end{cases}$$ Решим эту систему методом подстановки или методом исключения. Начнём с первого уравнения: $$3c_1 + 4c_2 = 3 \quad \text{(1)}.$$ Из второго уравнения выразим $$c_1$$: $$c_1 = -8 - 7c_2 \quad \text{(2)}.$$ Подставим (2) в (1): $$3(-8 - 7c_2) + 4c_2 = 3,$$ $$-24 - 21c_2 + 4c_2 = 3,$$ $$-24 - 17c_2 = 3,$$ $$-17c_2 = 27,$$ $$c_2 = -\frac{27}{17}.$$ Теперь подставим $$c_2 = -\frac{27}{17}$$ в (2): $$c_1 = -8 - 7 \left(-\frac{27}{17}\right) = -8 + \frac{189}{17} = -\frac{136}{17} + \frac{189}{17} = \frac{53}{17}.$$ --- ### Ответ: Координаты вектора $$\mathbf{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ -8 \end{pmatrix}$$ в базисе $$\{\mathbf{a}, \mathbf{b}\}$$ равны: $$\left( c_1, c_2 \right) = \left( \frac{53}{17}, -\frac{27}{17} \right).$$