Для решения задачи нужно:

1. Показать, что векторы $\mathbf{a}_1$, $\mathbf{a}_2$, $\mathbf{a}_3$ образуют базис трёхмерного пространства, то есть они линейно независимы и порождают всё трёхмерное пространство.
2. Найти координаты вектора $\mathbf{b}$ в базисе $\mathbf{a}_1$, $\mathbf{a}_2$, $\mathbf{a}_3$.

---

1. Проверка, что векторы образуют базис

Для проверки линейной независимости составим матрицу $A$, где строки (или столбцы) — координаты векторов $\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3$:

1 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ -3 & 2 & 5 \end{bmatrix}.$$ Посчитаем определитель этой матрицы. Если $$\det(A) \neq 0$$, то векторы $$\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3$$ линейно независимы. $$\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ -3 & 2 & 5 \end{vmatrix}.$$ Раскроем определитель по первой строке: $$\det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} - 3 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -3 & 5 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -3 & 2 \end{vmatrix}.$$ Вычислим каждый минор: $$\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} = (2)(5) - (2)(-1) = 10 + 2 = 12,$$ $$\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -3 & 5 \end{vmatrix} = (1)(5) - (-3)(-1) = 5 - 3 = 2,$$ $$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -3 & 2 \end{vmatrix} = (1)(2) - (-3)(2) = 2 + 6 = 8.$$ Подставляем в формулу для определителя: $$\det(A) = 1 \cdot 12 - 3 \cdot 2 + 1 \cdot 8 = 12 - 6 + 8 = 14.$$ Так как $$\det(A) = 14 \neq 0$$, векторы $$\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3$$ линейно независимы и образуют базис трёхмерного пространства. --- ### **2. Найдём координаты $$\mathbf{b}$$ в базисе $$\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3$$** Координаты вектора $$\mathbf{b}$$ в базисе $$\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3$$ задаются как решение системы: $$\mathbf{b} = x_1 \mathbf{a}_1 + x_2 \mathbf{a}_2 + x_3 \mathbf{a}_3.$$ Или в матричной форме: $$A \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \mathbf{b},$$ где $$A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ -3 & 2 & 5 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ -2 \end{bmatrix}.$$ Решаем систему. Для этого найдём $$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = A^{-1} \mathbf{b}$$. Вычислим обратную матрицу $$A^{-1}$$ и произведём умножение.import numpy as np # Матрица A (векторы a1, a2, a3) A = np.array([ [1, 3, 1], [1, 2, -1], [-3, 2, 5] ]) # Вектор b b = np.array([0, -1, -2]) # Находим обратную матрицу A A_inv = np.linalg.inv(A) # Решаем систему Ax = b, то есть x = A_inv * b x = np.dot(A_inv, b) xarray([ 1.64285714, -0.85714286, 0.92857143])array([ 1.64285714, -0.85714286, 0.92857143])successКоординаты вектора $$\mathbf{b}$$ в базисе $$\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3$$ равны: $$x_1 = 1.64, \quad x_2 = -0.86, \quad x_3 = 0.93.$$ Это означает, что: $$\mathbf{b} = 1.64 \cdot \mathbf{a}_1 - 0.86 \cdot \mathbf{a}_2 + 0.93 \cdot \mathbf{a}_3.$$ Если у вас есть вопросы или требуется дополнительное пояснение, дайте знать! --- ### Расширенные вопросы: 1. Как доказать линейную независимость векторов альтернативными методами? 2. Что делать, если $$\det(A) = 0$$, и как это влияет на базисность? 3. Можно ли представить вектор $$\mathbf{b}$$ в другом базисе? Как это влияет на координаты? 4. Как интерпретировать отрицательные координаты в базисе? 5. Почему важен детерминант при анализе базисов в линейной алгебре? ### Совет: Всегда проверяйте, правильно ли составлена матрица и исходные данные, чтобы избежать вычислительных ошибок в задачах линейной алгебры.