ありがとうございます。以下に、与えられた関数とその範囲での最小値を求めるための変数変換を用いた解法を詳しく説明します。

問題 C

与えられた関数： $f(x, y) = \sin(x^2 + y^2) + x^2$

これに対して、次の2つの問題に答えます：

1. 原点 $(0,0)$ で $f$ が極大・極小をとるかどうか判定し、その場合はその値を求めよ。
2. $x^2 + y^2 \leq 2\pi$ の範囲で、$f(x, y)$ が最小となる点と ( f(x, y) の最小値を求めよ。

1. 原点での極大・極小の判定

まず、関数 $f(x, y)$ の偏微分を計算します：

$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 2x \cos(x^2 + y^2) + 2x$ $f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = 2y \cos(x^2 + y^2)$

原点 $(0,0)$ での偏微分は次の通りです： $f_x(0,0) = 0$ $f_y(0,0) = 0$

次に、二次偏微分を計算して原点での値を調べます： $f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 2 \cos(x^2 + y^2) - 4x^2 \sin(x^2 + y^2) + 2$ $f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 2 \cos(x^2 + y^2) - 4y^2 \sin(x^2 + y^2)$ $f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = -4xy \sin(x^2 + y^2)$

原点 $(0,0)$ での値は次の通りです： $f_{xx}(0,0) = 2 \cos(0) + 2 = 4$ $f_{yy}(0,0) = 2 \cos(0) = 2$ $f_{xy}(0,0) = 0$

ヘッセ行列の行列式 $D$ は以下のように計算されます： $D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2$ $D = 4 \cdot 2 - 0^2 = 8$

$D > 0$ かつ $f_{xx}(0,0) > 0$ なので、原点 $(0,0)$ は極小点です。原点での $f$ の値は次の通りです： $f(0,0) = \sin(0) + 0 = 0$

2. $x^2 + y^2 \leq 2\pi$ の範囲での最小値

次に、領域 $x^2 + y^2 \leq 2\pi$ 内での最小値を求めます。ここで、$x^2 + y^2 = t$ と置き換えます。

[ g(t) = \sin(t