Ejercicio 1
Una empresa de venta de smartphones ha determinado que su costo de adquisición de smartphones y su función de ingresos por la venta de 'x' smartphones son lineales. Se sabe que el costo total para adquirir 50 smartphones es de 10.000 USD y para 100 smartphones es de 18.000 USD. Por otro lado, el ingreso generado al vender 50 smartphones es de 15.000 USD y al vender 120 smartphones es de 36.000 USD. Considerando que ambas relaciones son lineales, determinar:
a)    Función de costo de adquisición en función de 'x' smartphones.
b)    Función de ingreso en función de 'x' smartphones.
c)    Función de utilidad en función de 'x' smartphones.
d)    Calcular la utilidad al adquirir y vender 200 smartphones.


Este problema nos pide determinar las funciones de costo, ingreso y utilidad basadas en la información proporcionada, y luego calcular la utilidad para la venta de 200 smartphones.

### Paso 1: Determinar la función de costo
Sabemos que el costo de adquirir 'x' smartphones es una función lineal. Esto significa que la función de costo tiene la forma:

\[
C(x) = mx + b
\]

Donde:
- \( m \) es la pendiente (costo variable por smartphone),
- \( b \) es el costo fijo.

Nos han dado los siguientes datos:
- Para 50 smartphones, el costo es de 10.000 USD.
- Para 100 smartphones, el costo es de 18.000 USD.

Usamos estos dos puntos para calcular la pendiente \( m \):

\[
m = \frac{C(100) - C(50)}{100 - 50} = \frac{18.000 - 10.000}{100 - 50} = \frac{8.000}{50} = 160
\]

Por lo tanto, el costo por smartphone es 160 USD. Ahora sustituimos en la ecuación del costo para obtener \( b \). Usamos el punto \( C(50) = 10.000 \):

\[
C(50) = 160(50) + b = 10.000
\]
\[
8.000 + b = 10.000 \implies b = 2.000
\]

Entonces, la **función de costo** es:

\[
C(x) = 160x + 2.000
\]

### Paso 2: Determinar la función de ingreso
El ingreso generado al vender 'x' smartphones también es lineal, es decir, la función de ingreso tiene la forma:

\[
I(x) = mx + b
\]

Donde:
- \( m \) es la pendiente (ingreso por smartphone),
- \( b \) es un ingreso fijo (en este caso, podría ser 0 ya que usualmente el ingreso es directamente proporcional a las ventas).

Los datos que tenemos son:
- Para 50 smartphones, el ingreso es de 15.000 USD.
- Para 120 smartphones, el ingreso es de 36.000 USD.

Calculamos la pendiente \( m \):

\[
m = \frac{I(120) - I(50)}{120 - 50} = \frac{36.000 - 15.000}{120 - 50} = \frac{21.000}{70} = 300
\]

Por lo tanto, el ingreso por smartphone es 300 USD. Ahora, calculamos \( b \). Usamos el punto \( I(50) = 15.000 \):

\[
I(50) = 300(50) + b = 15.000
\]
\[
15.000 + b = 15.000 \implies b = 0
\]

Entonces, la **función de ingreso** es:

\[
I(x) = 300x
\]

### Paso 3: Determinar la función de utilidad
La utilidad \( U(x) \) es la diferencia entre el ingreso y el costo:

\[
U(x) = I(x) - C(x)
\]

Sustituyendo las funciones de ingreso y costo que hemos hallado:

\[
U(x) = 300x - (160x + 2.000)
\]
\[
U(x) = 300x - 160x - 2.000
\]
\[
U(x) = 140x - 2.000
\]

### Paso 4: Calcular la utilidad para 200 smartphones
Sustituimos \( x = 200 \) en la función de utilidad:

\[
U(200) = 140(200) - 2.000
\]
\[
U(200) = 28.000 - 2.000 = 26.000
\]

Por lo tanto, la utilidad al vender 200 smartphones es **26.000 USD**.

---

¿Te gustaría más detalles sobre alguno de los pasos? Aquí tienes algunas preguntas adicionales relacionadas:

1. ¿Cómo se calcula la pendiente en una función lineal?
2. ¿Qué implica que una función sea lineal en un contexto empresarial?
3. ¿Cómo afectaría un aumento en el costo fijo a la función de utilidad?
4. ¿Qué diferencia hay entre el costo variable y el costo fijo en una función de costos?
5. ¿Cómo cambiaría la utilidad si el precio de venta por smartphone aumentara?

**Tip**: Recuerda que en funciones lineales, los coeficientes son clave para entender las relaciones entre las variables.

Una empresa de venta de smartphones ha determinado que su costo de adquisición de smartphones y su función de ingresos por la venta de 'x' smartphones son lineales. Se sabe que el costo total para adquirir 50 smartphones es de 10.000 USD y para 100 smartphones es de 18.000 USD. Por otro lado, el ingreso generado al vender 50 smartphones es de 15.000 USD y al vender 120 smartphones es de 36.000 USD. Considerando que ambas relaciones son lineales, determinar:

a) Función de costo de adquisición en función de 'x' smartphones.
b) Función de ingreso en función de 'x' smartphones.
c) Función de utilidad en función de 'x' smartphones.
d) Calcular la utilidad al adquirir y vender 200 smartphones.

Learn how to calculate the cost, revenue, and profit functions for smartphone sales based on linear relationships. This problem includes finding the cost function, revenue function, and determining the profit from selling 200 smartphones. Suitable for students in Grades 9-12.

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