Este problema nos pide determinar las funciones de costo, ingreso y utilidad basadas en la información proporcionada, y luego calcular la utilidad para la venta de 200 smartphones.

Paso 1: Determinar la función de costo

Sabemos que el costo de adquirir 'x' smartphones es una función lineal. Esto significa que la función de costo tiene la forma:

$C(x) = mx + b$

Donde:

• $m$ es la pendiente (costo variable por smartphone),
• $b$ es el costo fijo.

Nos han dado los siguientes datos:

• Para 50 smartphones, el costo es de 10.000 USD.
• Para 100 smartphones, el costo es de 18.000 USD.

Usamos estos dos puntos para calcular la pendiente $m$:

$m = \frac{C(100) - C(50)}{100 - 50} = \frac{18.000 - 10.000}{100 - 50} = \frac{8.000}{50} = 160$

Por lo tanto, el costo por smartphone es 160 USD. Ahora sustituimos en la ecuación del costo para obtener $b$. Usamos el punto $C(50) = 10.000$:

$C(50) = 160(50) + b = 10.000$ $8.000 + b = 10.000 \implies b = 2.000$

Entonces, la función de costo es:

$C(x) = 160x + 2.000$

Paso 2: Determinar la función de ingreso

El ingreso generado al vender 'x' smartphones también es lineal, es decir, la función de ingreso tiene la forma:

$I(x) = mx + b$

Donde:

• $m$ es la pendiente (ingreso por smartphone),
• $b$ es un ingreso fijo (en este caso, podría ser 0 ya que usualmente el ingreso es directamente proporcional a las ventas).

Los datos que tenemos son:

• Para 50 smartphones, el ingreso es de 15.000 USD.
• Para 120 smartphones, el ingreso es de 36.000 USD.

Calculamos la pendiente $m$:

$m = \frac{I(120) - I(50)}{120 - 50} = \frac{36.000 - 15.000}{120 - 50} = \frac{21.000}{70} = 300$

Por lo tanto, el ingreso por smartphone es 300 USD. Ahora, calculamos $b$. Usamos el punto $I(50) = 15.000$:

$I(50) = 300(50) + b = 15.000$ $15.000 + b = 15.000 \implies b = 0$

Entonces, la función de ingreso es:

$I(x) = 300x$

Paso 3: Determinar la función de utilidad

La utilidad $U(x)$ es la diferencia entre el ingreso y el costo:

$U(x) = I(x) - C(x)$

Sustituyendo las funciones de ingreso y costo que hemos hallado:

$U(x) = 300x - (160x + 2.000)$ $U(x) = 300x - 160x - 2.000$ $U(x) = 140x - 2.000$

Paso 4: Calcular la utilidad para 200 smartphones

Sustituimos $x = 200$ en la función de utilidad:

$U(200) = 140(200) - 2.000$ $U(200) = 28.000 - 2.000 = 26.000$

Por lo tanto, la utilidad al vender 200 smartphones es 26.000 USD.

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¿Te gustaría más detalles sobre alguno de los pasos? Aquí tienes algunas preguntas adicionales relacionadas:

1. ¿Cómo se calcula la pendiente en una función lineal?
2. ¿Qué implica que una función sea lineal en un contexto empresarial?
3. ¿Cómo afectaría un aumento en el costo fijo a la función de utilidad?
4. ¿Qué diferencia hay entre el costo variable y el costo fijo en una función de costos?
5. ¿Cómo cambiaría la utilidad si el precio de venta por smartphone aumentara?

Tip: Recuerda que en funciones lineales, los coeficientes son clave para entender las relaciones entre las variables.