Math Problem Statement

fais l’exo

Dans chacun des cas suivants, déterminer lim (x→+∞) f(x): 1. f est définie sur R par f(x) = -2x^3 + 2x^2 - 5x + 7 2. f est définie sur [1/3, +∞[ par f(x) = (2x - 9) / (3x - 1)

Solution

D'accord ! Analysons et résolvons les limites à l'infini pour chacune des fonctions.

Énoncé :

Nous devons déterminer lim⁡x→+∞f(x)\lim_{x \to +\infty} f(x) pour les deux cas suivants :

1. f(x)=−2x3+2x2−5x+7f(x) = -2x^3 + 2x^2 - 5x + 7

C'est une fonction polynomiale définie sur R\mathbb{R}.

2. f(x)=2x−93x−1f(x) = \frac{2x - 9}{3x - 1}

C'est une fonction rationnelle définie sur [13,+∞[\left[\frac{1}{3}, +\infty \right[.

Résolution

1. lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞(−2x3+2x2−5x+7)\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \left(-2x^3 + 2x^2 - 5x + 7\right)

Quand x→+∞x \to +\infty, les termes dominants sont ceux avec la puissance la plus élevée de xx. Ici, le terme dominant est −2x3-2x^3.

Donc, à l'infini : f(x)∼−2x3f(x) \sim -2x^3

Par conséquent : lim⁡x→+∞f(x)=−∞\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty

Conclusion : lim⁡x→+∞f(x)=−∞\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty.

2. f(x)=2x−93x−1f(x) = \frac{2x - 9}{3x - 1}

Ici, pour déterminer la limite quand x→+∞x \to +\infty, on divise le numérateur et le dénominateur par xx (le terme dominant) :

= \frac{2 - \frac{9}{x}}{3 - \frac{1}{x}}$$ Quand $$x \to +\infty$$, les termes $$\frac{9}{x}$$ et $$\frac{1}{x}$$ tendent vers $$0$$. Donc, il reste : $$f(x) \to \frac{2}{3}$$ **Conclusion :** $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \frac{2}{3}$$. --- ### **Réponses finales :** 1. $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$$ 2. $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \frac{2}{3}$$ --- Voulez-vous des explications supplémentaires ou une vérification graphique ? 😊 ### **Questions associées :** 1. Pourquoi le terme dominant détermine-t-il la limite d'une fonction polynomiale ? 2. Comment gérer les limites lorsque les puissances des polynômes sont égales dans une fraction rationnelle ? 3. Qu'arrive-t-il à une fraction rationnelle si le degré du numérateur dépasse celui du dénominateur ? 4. Pourquoi les termes négligeables comme $$\frac{1}{x}$$ tendent-ils vers zéro à l'infini ? 5. Peut-on calculer ces limites avec d'autres méthodes, comme la dérivation ou les règles de L'Hôpital ? **Astuce :** Lorsqu'une limite implique une fraction rationnelle, pensez à diviser par le plus grand terme du dénominateur pour simplifier vos calculs.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Limits
Polynomials
Rational Functions
Asymptotic Behavior

Formulas

For polynomials: The term with the highest power dominates as x → +∞.
For rational functions: Divide numerator and denominator by the highest power of x in the denominator.

Theorems

Limit of a polynomial at infinity is determined by the leading term.
Limits of rational functions depend on the degrees of the numerator and denominator.

Suitable Grade Level

Grades 10-12

Related Recommendation

Limit Calculation for Polynomial and Rational Functions

Analyze Rational Functions and Horizontal Asymptotes

Limits of a Rational Function at Infinity and Asymptotes

Solving Limits of Rational Functions with Indeterminate Forms and Infinity

Limit of Rational Function as x Approaches Infinity - Asymptotic Analysis