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D'accord ! Analysons et résolvons les limites à l'infini pour chacune des fonctions.

### Énoncé :
Nous devons déterminer \(\lim_{x \to +\infty} f(x)\) pour les deux cas suivants :

#### 1. \( f(x) = -2x^3 + 2x^2 - 5x + 7 \)
C'est une fonction polynomiale définie sur \(\mathbb{R}\).

#### 2. \( f(x) = \frac{2x - 9}{3x - 1} \)
C'est une fonction rationnelle définie sur \(\left[\frac{1}{3}, +\infty \right[\).

---

### **Résolution**

#### 1. \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \left(-2x^3 + 2x^2 - 5x + 7\right)\)

Quand \(x \to +\infty\), les termes dominants sont ceux avec la puissance la plus élevée de \(x\). Ici, le terme dominant est \(-2x^3\).

Donc, à l'infini :
\[
f(x) \sim -2x^3
\]

Par conséquent :
\[
\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty
\]

**Conclusion :**
\(\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty\).

---

#### 2. \(f(x) = \frac{2x - 9}{3x - 1}\)

Ici, pour déterminer la limite quand \(x \to +\infty\), on divise le numérateur et le dénominateur par \(x\) (le terme dominant) :

\[
f(x) = \frac{\frac{2x}{x} - \frac{9}{x}}{\frac{3x}{x} - \frac{1}{x}}
= \frac{2 - \frac{9}{x}}{3 - \frac{1}{x}}
\]

Quand \(x \to +\infty\), les termes \(\frac{9}{x}\) et \(\frac{1}{x}\) tendent vers \(0\). Donc, il reste :

\[
f(x) \to \frac{2}{3}
\]

**Conclusion :**
\(\lim_{x \to +\infty} f(x) = \frac{2}{3}\).

---

### **Réponses finales :**

1. \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty\)
2. \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = \frac{2}{3}\)

---

Voulez-vous des explications supplémentaires ou une vérification graphique ? 😊

### **Questions associées :**
1. Pourquoi le terme dominant détermine-t-il la limite d'une fonction polynomiale ?
2. Comment gérer les limites lorsque les puissances des polynômes sont égales dans une fraction rationnelle ?
3. Qu'arrive-t-il à une fraction rationnelle si le degré du numérateur dépasse celui du dénominateur ?
4. Pourquoi les termes négligeables comme \(\frac{1}{x}\) tendent-ils vers zéro à l'infini ?
5. Peut-on calculer ces limites avec d'autres méthodes, comme la dérivation ou les règles de L'Hôpital ?

**Astuce :** Lorsqu'une limite implique une fraction rationnelle, pensez à diviser par le plus grand terme du dénominateur pour simplifier vos calculs.

Dans chacun des cas suivants, déterminer lim (x→+∞) f(x):
1. f est définie sur R par f(x) = -2x^3 + 2x^2 - 5x + 7
2. f est définie sur [1/3, +∞[ par f(x) = (2x - 9) / (3x - 1)

Discover how to calculate limits at infinity for polynomial and rational functions. This problem involves analyzing the leading term for polynomials and simplifying rational functions for asymptotic behavior. Suitable for high school students in Grades 10-12.

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