Tentukan nilai limit fungsi berikut:
 5. lim x -> ∞ ((2x - 1) ^ 4)/(x * (x + 1) ^ 3)

6. lim x -> ∞ (2x ^ 3 + x ^ 2 - x + 1)/(x ^ 2 + x - 10)

7.) lim x -> ∞ (x ^ 3 + 4x ^ 2 - x + 7)/(16x ^ 3 + 3x ^ 2 + 5x + 8)

8. lim x -> ∞ ((2x - 1) ^ 3)/((x - 1)(x ^ 2 + x + 1))

9. lim x -> ∞ (2x * sqrt(x) + x - 1)/(sqrt(x ^ 3) + 2x - 1)

10. lim x -> ∞ 4x-1 4x

Mari kita hitung nilai limit dari masing-masing fungsi satu per satu.

### 5. \(\lim_{{x \to \infty}} \frac{{(2x - 1)^4}}{{x(x + 1)^3}}\)

Kita akan menganalisis pertumbuhan suku-suku dominan ketika \(x \to \infty\).

- Untuk \((2x - 1)^4\), suku dominan adalah \((2x)^4 = 16x^4\).
- Untuk \(x(x + 1)^3\), suku dominan adalah \(x(x^3) = x^4\).

Jadi, limit menjadi:
\[
\lim_{{x \to \infty}} \frac{{16x^4}}{{x^4}} = 16
\]
**Jawaban:** 16

---

### 6. \(\lim_{{x \to \infty}} \frac{{2x^3 + x^2 - x + 1}}{{x^2 + x - 10}}\)

Untuk \(x \to \infty\), kita mencari suku dominan di pembilang dan penyebut:
- Di pembilang, suku dominan adalah \(2x^3\).
- Di penyebut, suku dominan adalah \(x^2\).

Dengan membagi pembilang dan penyebut dengan \(x^2\), limit menjadi:
\[
\lim_{{x \to \infty}} \frac{{\frac{{2x^3}}{{x^2}} + \frac{{x^2}}{{x^2}} - \frac{x}{x^2} + \frac{1}{x^2}}}{{\frac{{x^2}}{{x^2}} + \frac{x}{x^2} - \frac{10}{x^2}}}
= \lim_{{x \to \infty}} \frac{{2x + 1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}}{{1 + \frac{1}{x} - \frac{10}{x^2}}}
\]
Saat \(x \to \infty\), suku-suku kecil mendekati nol, jadi limit menjadi:
\[
\lim_{{x \to \infty}} \frac{{2x}}{{1}} = \infty
\]
**Jawaban:** \(\infty\)

---

### 7. \(\lim_{{x \to \infty}} \frac{{x^3 + 4x^2 - x + 7}}{{16x^3 + 3x^2 + 5x + 8}}\)

Untuk \(x \to \infty\), suku dominan di pembilang adalah \(x^3\), dan suku dominan di penyebut adalah \(16x^3\).

Limit menjadi:
\[
\lim_{{x \to \infty}} \frac{{x^3}}{{16x^3}} = \frac{1}{16}
\]
**Jawaban:** \(\frac{1}{16}\)

---

### 8. \(\lim_{{x \to \infty}} \frac{{(2x - 1)^3}}{{(x - 1)(x^2 + x + 1)}}\)

Kita perlu memperhatikan suku dominan ketika \(x \to \infty\):
- Di pembilang, suku dominan dari \((2x - 1)^3\) adalah \((2x)^3 = 8x^3\).
- Di penyebut, suku dominan dari \((x - 1)(x^2 + x + 1)\) adalah \(x \cdot x^2 = x^3\).

Limit menjadi:
\[
\lim_{{x \to \infty}} \frac{{8x^3}}{{x^3}} = 8
\]
**Jawaban:** 8

---

### 9. \(\lim_{{x \to \infty}} \frac{{2x \sqrt{x} + x - 1}}{{\sqrt{x^3} + 2x - 1}}\)

Ekspresikan \( \sqrt{x^3} = x^{3/2} \). Untuk \(x \to \infty\), suku dominan di pembilang adalah \(2x \sqrt{x} = 2x^{3/2}\), dan di penyebut suku dominan adalah \(\sqrt{x^3} = x^{3/2}\).

Limit menjadi:
\[
\lim_{{x \to \infty}} \frac{{2x^{3/2}}}{{x^{3/2}}} = 2
\]
**Jawaban:** 2

---

### 10. \(\lim_{{x \to \infty}} 4x - 1\)

Ini adalah ekspresi linear sederhana. Ketika \(x \to \infty\), suku \(4x\) mendominasi, sehingga:
\[
\lim_{{x \to \infty}} (4x - 1) = \infty
\]
**Jawaban:** \(\infty\)

---

Apakah kamu ingin rincian lebih lanjut atau ada pertanyaan tentang langkah-langkah ini?

Berikut beberapa soal terkait:
1. Tentukan limit \(\lim_{{x \to \infty}} \frac{{x^2 + 3x}}{{5x^2 - x}}\).
2. Hitung limit \(\lim_{{x \to \infty}} \frac{{\sqrt{x^2 + 1}}}{{x}}\).
3. Tentukan limit \(\lim_{{x \to \infty}} \frac{{x^3 - 2x}}{{x^2 + x + 1}}\).
4. Hitung limit \(\lim_{{x \to \infty}} \frac{{x}}{{x^3 + 1}}\).
5. Tentukan limit \(\lim_{{x \to \infty}} \frac{{x^4 - 4}}{{2x^4 + x^3}}\).

**Tip:** Saat menghitung limit dengan \(x \to \infty\), selalu cari suku dominan di pembilang dan penyebut untuk mempercepat perhitungan.

Tentukan nilai limit fungsi berikut:
5. lim x -> ∞ ((2x - 1) ^ 4)/(x * (x + 1) ^ 3)
6. lim x -> ∞ (2x ^ 3 + x ^ 2 - x + 1)/(x ^ 2 + x - 10)
7. lim x -> ∞ (x ^ 3 + 4x ^ 2 - x + 7)/(16x ^ 3 + 3x ^ 2 + 5x + 8)
8. lim x -> ∞ ((2x - 1) ^ 3)/((x - 1)(x ^ 2 + x + 1))
9. lim x -> ∞ (2x * sqrt(x) + x - 1)/(sqrt(x ^ 3) + 2x - 1)
10. lim x -> ∞ 4x-1 4x

Learn how to calculate limits at infinity for various polynomial and rational functions. This problem explores asymptotic behavior, dominant terms, and common limit techniques for complex expressions. Suitable for advanced high school or early college students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation