Trouver la limite éventuelle de la suite (Vn) definie par (Un): U0=6 et Un+1=0,79Un      (Vn): Vn= sigma(Uk)

Commençons par analyser la suite \((U_n)\) définie par la relation de récurrence :

\[
U_0 = 6 \quad \text{et} \quad U_{n+1} = 0,79U_n.
\]

### 1. Étude de la suite \((U_n)\)

La suite \((U_n)\) est une suite géométrique de premier terme \(U_0 = 6\) et de raison \(r = 0,79\). La formule générale d'une suite géométrique est :

\[
U_n = U_0 \times r^n = 6 \times (0,79)^n.
\]

Puisque \(0 < 0,79 < 1\), on sait que la suite \((U_n)\) tend vers 0 lorsque \(n\) tend vers l'infini :

\[
\lim_{n \to \infty} U_n = 0.
\]

### 2. Définition de la suite \((V_n)\)

La suite \((V_n)\) est définie comme la somme des termes de la suite \((U_n)\) :

\[
V_n = \sum_{k=0}^{n} U_k.
\]

Remplaçons \(U_k\) par son expression :

\[
V_n = \sum_{k=0}^{n} 6 \times (0,79)^k.
\]

### 3. Calcul de la limite de la suite \((V_n)\)

La somme \(\sum_{k=0}^{n} 6 \times (0,79)^k\) est une somme partielle d'une suite géométrique de raison \(0,79\) et de premier terme \(6\). La formule pour la somme des \(n+1\) premiers termes d'une suite géométrique est :

\[
V_n = 6 \times \frac{1 - (0,79)^{n+1}}{1 - 0,79}.
\]

Simplifions cette expression :

\[
V_n = 6 \times \frac{1 - (0,79)^{n+1}}{0,21}.
\]

### 4. Limite de la suite \((V_n)\)

Lorsque \(n\) tend vers l'infini, \((0,79)^{n+1}\) tend vers 0 (puisque \(0,79 < 1\)). Ainsi, la limite de \(V_n\) est :

\[
\lim_{n \to \infty} V_n = 6 \times \frac{1 - 0}{0,21} = \frac{6}{0,21} = 28,57\ldots.
\]

### Conclusion

La suite \((V_n)\) a pour limite \(28,57\) lorsque \(n\) tend vers l'infini.

Voulez-vous plus de détails ou avez-vous des questions ?

### 5 Questions pour approfondir :

1. Comment détermine-t-on la limite d'une suite géométrique ?
2. Pourquoi la suite \((U_n)\) tend-elle vers 0 pour \(0 < 0,79 < 1\) ?
3. Quelle est l'importance de la raison d'une suite géométrique dans le calcul de sa somme ?
4. Qu'est-ce qu'une somme partielle dans le contexte des suites géométriques ?
5. Comment la limite de la suite \((V_n)\) changerait-elle si la raison de la suite \((U_n)\) était différente ?

### Un conseil :

Lorsque vous travaillez avec des suites géométriques, identifier la raison et le premier terme facilite grandement le calcul de leurs sommes et de leurs limites.

Trouver la limite éventuelle de la suite (Vn) définie par (Un): U0=6 et Un+1=0,79Un (Vn): Vn= sigma(Uk)

Découvrez comment trouver la limite de la suite géométrique (Vn) définie par (Un) avec U0=6 et Un+1=0,79Un. Explorez les concepts de suites géométriques, de sommes partielles, et le calcul des limites avec une explication complète. Convient aux élèves de la 10e à la 12e année.

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