On considère les suites (Un) et (Vn) définies par: Un= n - n^2    Vn= n - 2 / 2n + 1

Écrire un programme python
À l’aide d’un programme Python, conjecturer la limite de chacune de ces suites.

À l’aide d’un programme, déterminer la valeur de n à partir de laquelle Un < -10000

À l’aide d’un programme, déterminer la valeur de n à partir de laquelle l’écart entre Vn et la limite de (Vn) est inférieur au millième.

Voici des programmes Python pour répondre à chacune des parties de la question.

1. **Conjecturer la limite de chacune des suites \( U_n \) et \( V_n \)**

```python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Définition des suites
def U_n(n):
    return n - n**2

def V_n(n):
    return (n - 2) / (2 * n + 1)

# Génération des valeurs de n
n_values = np.arange(1, 1000)

# Calcul des valeurs de U_n et V_n
U_values = U_n(n_values)
V_values = V_n(n_values)

# Tracer les suites
plt.figure(figsize=(10,5))

plt.subplot(1, 2, 1)
plt.plot(n_values, U_values, label="U_n")
plt.axhline(0, color='r', linestyle='--')
plt.title('Suite U_n')
plt.xlabel('n')
plt.ylabel('U_n')

plt.subplot(1, 2, 2)
plt.plot(n_values, V_values, label="V_n")
plt.axhline(0.5, color='r', linestyle='--')
plt.title('Suite V_n')
plt.xlabel('n')
plt.ylabel('V_n')

plt.tight_layout()
plt.show()
```

**Analyse:**
- Pour \( U_n = n - n^2 \), on observe que la suite tend vers \(-\infty\) quand \( n \) augmente.
- Pour \( V_n = \frac{n - 2}{2n + 1} \), il semble que la limite est \( \frac{1}{2} \).

---

2. **Déterminer la valeur de \( n \) à partir de laquelle \( U_n < -10000 \)**

```python
def find_n_for_Un_below_threshold(threshold=-10000):
    n = 1
    while U_n(n) >= threshold:
        n += 1
    return n

n_value = find_n_for_Un_below_threshold()
print(f"La valeur de n à partir de laquelle U_n < -10000 est: {n_value}")
```

---

3. **Déterminer la valeur de \( n \) à partir de laquelle l'écart entre \( V_n \) et la limite est inférieur à \( 0,001 \)**

```python
def find_n_for_Vn_close_to_limit(limit=0.5, epsilon=0.001):
    n = 1
    while abs(V_n(n) - limit) >= epsilon:
        n += 1
    return n

n_value_vn = find_n_for_Vn_close_to_limit()
print(f"La valeur de n à partir de laquelle l'écart entre V_n et sa limite est inférieur à 0.001 est: {n_value_vn}")
```

---

### Questions:

1. Pourquoi la limite de \( U_n \) tend-elle vers \(-\infty\) ?
2. Qu'est-ce que cela implique si une suite diverge comme \( U_n \) ?
3. Pourquoi la limite de \( V_n \) est-elle \( \frac{1}{2} \) ?
4. Que représente l'épsilon dans le contexte d'une limite ?
5. Peut-on utiliser une autre méthode pour estimer la limite d'une suite numériquement ?

**Tip:** Les graphes sont un excellent outil pour visualiser la convergence et le comportement asymptotique des suites.

On considère les suites (Un) et (Vn) définies par: Un= n - n^2 Vn= n - 2 / 2n + 1 Écrire un programme python À l’aide d’un programme Python, conjecturer la limite de chacune de ces suites. À l’aide d’un programme, déterminer la valeur de n à partir de laquelle Un < -10000 À l’aide d’un programme, déterminer la valeur de n à partir de laquelle l’écart entre Vn et la limite de (Vn) est inférieur au millième.

Explore how to conjecture the limits of sequences Un = n - n^2 and Vn = (n - 2) / (2n + 1) using Python. Discover the value of n where Un < -10000 and when the difference between Vn and its limit is less than 0.001. Includes step-by-step coding solutions for high school students.

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