Pour résoudre la limite \(\lim_{x \to +\infty} x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right)\), nous allons décomposer le problème.

### 1. Réécriture de l'expression
Commençons par observer le comportement de \(\sin\left(\frac{1}{x}\right)\) lorsque \(x \to +\infty\).
- Quand \(x \to +\infty\), \(\frac{1}{x} \to 0\), donc \(\sin\left(\frac{1}{x}\right) \approx \frac{1}{x}\) en utilisant l'approximation de la fonction sinus pour de petites valeurs de l'argument : \(\sin(y) \approx y\) lorsque \(y \to 0\).

### 2. Approximations dans la limite
Ainsi, lorsque \(x\) devient très grand, on a :
\[
\sin\left(\frac{1}{x}\right) \approx \frac{1}{x}.
\]
Substituons cette approximation dans l'expression donnée :
\[
x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) \approx x^2 \cdot \frac{1}{x} = x.
\]

### 3. Conclusion
Comme \(\lim_{x \to +\infty} x = +\infty\), nous concluons que :
\[
\lim_{x \to +\infty} x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) = +\infty.
\]

La limite est donc \(\boxed{+\infty}\).

---

Avez-vous des questions ou souhaitez-vous plus de détails ? Voici quelques questions connexes pour explorer davantage ce concept :

1. Pourquoi peut-on utiliser l'approximation \(\sin(y) \approx y\) quand \(y \to 0\) ?
2. Comment le comportement de \(\sin(1/x)\) change-t-il si \(x \to 0\) au lieu de \(x \to +\infty\) ?
3. Quelle est la limite de \(x^2 \sin(x)\) quand \(x \to 0\) ?
4. Comment interpréter cette limite géométriquement ?
5. Quelles autres techniques peuvent être utiles pour évaluer des limites avec des fonctions trigonométriques ?

**Astuce** : L'approximation de petites valeurs est un outil puissant, mais il faut toujours vérifier que les approximations sont valides pour la limite considérée.

Explore how to find the limit of the function x² * sin(1/x) as x approaches infinity. This problem involves key calculus concepts, including limits and trigonometric approximations, suitable for students in Grades 11-12.

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