Да, в данном случае можно перейти к равенству

$x = \frac{1}{2} \left( x + \frac{a}{x} \right)$

при $n \to \infty$. Давайте рассмотрим, как и почему это возможно.

Обоснование перехода к пределу

1. Сходимость последовательности: По условию задачи задано, что $\lim_{n \to \infty} x_n = x$. Это означает, что последовательность $\{x_n\}$ сходится к пределу $x$ при $n \to \infty$.

2. Определение предела для следующего элемента последовательности: Также по условию $\lim_{n \to \infty} x_{n+1} = x$. Это значит, что последовательность сходится к одному и тому же пределу, независимо от того, рассматриваем ли мы $x_n$ или $x_{n+1}$.

3. Рекуррентное соотношение: По условию, для последовательности $\{x_n\}$ выполняется рекуррентное соотношение: $x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{a}{x_n} \right).$

4. Переход к пределу в рекуррентном соотношении: Поскольку $x_n \to x$ и $x_{n+1} \to x$ при $n \to \infty$, мы можем перейти к пределу в обеих частях рекуррентного соотношения. Получаем: $x = \lim_{n \to \infty} x_{n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{a}{x_n} \right).$

5. Использование предела в правой части: При $n \to \infty$, так как $x_n \to x$, выражение $\frac{1}{2} \left( x_n + \frac{a}{x_n} \right)$ также будет стремиться к $\frac{1}{2} \left( x + \frac{a}{x} \right)$. Таким образом, $x = \frac{1}{2} \left( x + \frac{a}{x} \right).$

Почему это возможно

Переход к пределу правомерен, потому что:

• Предел $\lim_{n \to \infty} x_n = x$ существует.
• В рекуррентном соотношении правая часть выражения является непрерывной функцией от $x_n$, поэтому можно перейти к пределу по свойству непрерывности функции.

Итог

Таким образом, мы получаем уравнение $x = \frac{1}{2} \left( x + \frac{a}{x} \right),$ которое можно решить относительно $x$, чтобы найти значение предела последовательности.

Есть ли у вас вопросы или требуется более подробное объяснение?

Вопросы для дальнейшего изучения

1. Какое физическое или геометрическое значение может иметь найденное значение предела?
2. Можно ли использовать другие методы для нахождения предела этой последовательности?
3. Как решить уравнение $x = \frac{1}{2} \left( x + \frac{a}{x} \right)$ для $x$?
4. Каковы условия на параметр $a$, чтобы уравнение имело действительное решение для $x$?
5. Возможно ли использование других численных методов для нахождения предела последовательности?

Совет

Для последовательностей, заданных рекуррентными соотношениями, всегда полезно проверять условия сходимости и монотонности, чтобы обосновать существование предела.