https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/1730923186572wxewamtc.jpg

В задаче на скриншоте необходимо найти предел x_n. Я не пойму переход $$ \lim_{n\to\infty}\frac12\left(x_{n}+\frac{a}{x_{n}}\right)=\frac12\left(x+\frac{a}{x}\right)\text{. Объясни его пожалуйста} $$

Для перехода 

\[
\lim_{n\to\infty}\frac12\left(x_{n}+\frac{a}{x_{n}}\right)=\frac12\left(x+\frac{a}{x}\right)
\]

мы используем свойство предела, которое гласит: если последовательность $ x_n $ стремится к пределу $ x $ при $ n \to \infty $, то любые выражения, составленные из этой последовательности, будут стремиться к выражениям, составленным из предела. Это свойство известно как **предел композиции** или **переход к пределу в непрерывной функции**.

В данном случае, если $ x_n \to x $ при $ n \to \infty $, то выражение 

\[
\frac{a}{x_n} 
\]

также стремится к $ \frac{a}{x} $, так как деление — непрерывная операция (при условии, что $ x \neq 0 $).

Тогда

\[
x_n + \frac{a}{x_n} \to x + \frac{a}{x}
\]

при $ n \to \infty $.

Поскольку умножение на константу $ \frac{1}{2} $ также является непрерывной операцией, то получаем:

\[
\frac12 \left(x_n + \frac{a}{x_n}\right) \to \frac12 \left(x + \frac{a}{x}\right)
\]

при $ n \to \infty $.

Этим обоснован переход:

\[
\lim_{n\to\infty}\frac12\left(x_{n}+\frac{a}{x_{n}}\right) = \frac12\left(x+\frac{a}{x}\right).
\]

Есть ли что-то, что вы хотели бы уточнить?

### Вопросы для дальнейшего понимания:
1. Почему требуется монотонность последовательности в доказательстве сходимости?
2. Как помогает теорема Вейерштрасса для доказательства существования предела?
3. Можно ли использовать это доказательство для любой начальной точки $ x_0 $?
4. Какой вывод можно сделать о значении $ x $ в данном случае?
5. Что происходит с $ x_n $ при разных значениях параметра $ a $?

### Совет:
При работе с предельными переходами старайтесь внимательно проверять условия непрерывности функций и существования пределов, чтобы избежать ошибок.

В задаче на скриншоте необходимо найти предел x_n. Я не пойму переход $ \lim_{n\to\infty}\frac12\left(x_{n}+\frac{a}{x_{n}}\right)=\frac12\left(x+\frac{a}{x}\right) $. Объясни его пожалуйста.

Explore the solution to finding the limit of the sequence x_n defined by recursion and analyze the transition in limits. The solution uses properties of monotonic sequences and continuous functions, as well as the Weierstrass theorem, to establish convergence.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation