Для перехода

$\lim_{n\to\infty}\frac12\left(x_{n}+\frac{a}{x_{n}}\right)=\frac12\left(x+\frac{a}{x}\right)$

мы используем свойство предела, которое гласит: если последовательность $x_n$ стремится к пределу $x$ при $n \to \infty$, то любые выражения, составленные из этой последовательности, будут стремиться к выражениям, составленным из предела. Это свойство известно как предел композиции или переход к пределу в непрерывной функции.

В данном случае, если $x_n \to x$ при $n \to \infty$, то выражение

$\frac{a}{x_n}$

также стремится к $\frac{a}{x}$, так как деление — непрерывная операция (при условии, что $x \neq 0$).

Тогда

$x_n + \frac{a}{x_n} \to x + \frac{a}{x}$

при $n \to \infty$.

Поскольку умножение на константу $\frac{1}{2}$ также является непрерывной операцией, то получаем:

$\frac12 \left(x_n + \frac{a}{x_n}\right) \to \frac12 \left(x + \frac{a}{x}\right)$

при $n \to \infty$.

Этим обоснован переход:

$\lim_{n\to\infty}\frac12\left(x_{n}+\frac{a}{x_{n}}\right) = \frac12\left(x+\frac{a}{x}\right).$

Есть ли что-то, что вы хотели бы уточнить?

Вопросы для дальнейшего понимания:

1. Почему требуется монотонность последовательности в доказательстве сходимости?
2. Как помогает теорема Вейерштрасса для доказательства существования предела?
3. Можно ли использовать это доказательство для любой начальной точки $x_0$?
4. Какой вывод можно сделать о значении $x$ в данном случае?
5. Что происходит с $x_n$ при разных значениях параметра $a$?

Совет:

При работе с предельными переходами старайтесь внимательно проверять условия непрерывности функций и существования пределов, чтобы избежать ошибок.