https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/17270008862472m5imfjw.jpg

この問題について途中式を含めて、徐々に解を導き出していこう。

この問題を解いていくためには、以下の極限と和の表現を扱っていきます。

問題は次のように与えられています：

\[
\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{4n+1} n \sin\left( \frac{k\pi}{2n} \right)
\]

まず、この和を整理しながら極限を求めていきます。

### Step 1: 和の式の構造理解
この和は、\( k \) が 1 から \( 4n+1 \) まで変わり、各項が \( n \sin\left(\frac{k\pi}{2n}\right) \) となっています。ここで \( \sin\left(\frac{k\pi}{2n}\right) \) は小さい \( x \) に対して近似が可能です。つまり、次の近似が成立します：

\[
\sin(x) \approx x \quad \text{(for small \( x \))}
\]

したがって、\( n \to \infty \) の極限において、\( \frac{k\pi}{2n} \) が小さい値なので、次のように近似できます。

\[
\sin\left(\frac{k\pi}{2n}\right) \approx \frac{k\pi}{2n}
\]

### Step 2: 和の近似
この近似を和の中に代入すると、次のように整理できます。

\[
n \sin\left( \frac{k\pi}{2n} \right) \approx n \cdot \frac{k\pi}{2n} = \frac{k\pi}{2}
\]

したがって、和の式は次のように近似できます。

\[
\sum_{k=1}^{4n+1} n \sin\left( \frac{k\pi}{2n} \right) \approx \sum_{k=1}^{4n+1} \frac{k\pi}{2}
\]

### Step 3: 和の計算
次に、和の部分を計算していきます。和の式は次の形です：

\[
\sum_{k=1}^{4n+1} k = \frac{(4n+1)(4n+2)}{2}
\]

したがって、次のようになります：

\[
\sum_{k=1}^{4n+1} \frac{k\pi}{2} = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{(4n+1)(4n+2)}{2}
\]

これを整理すると：

\[
\frac{\pi}{4} (4n+1)(4n+2)
\]

### Step 4: 極限を計算
最後に、\( n \to \infty \) の極限を考えます。\( n \) が非常に大きくなると、最高次の項だけを考慮すればよいので、次のようになります：

\[
\lim_{n \to \infty} \frac{\pi}{4} (4n+1)(4n+2) \approx \lim_{n \to \infty} \frac{\pi}{4} \cdot 16n^2 = 4\pi n^2
\]

### 結論
したがって、この和の極限は無限大に発散することがわかります。

**結果：極限は発散します。**

質問や途中の計算についての詳細があれば教えてください。

次に関連する5つの質問です：

1. この問題のような発散する和の扱い方について他にどのような方法が考えられますか？
2. 和の計算における近似方法の他の例を挙げてください。
3. トラップざらす級数における和の近似方法はどう違いますか？
4. この極限の背後にある直感的な考え方をもう少し詳しく説明できますか？
5. 極限の計算において最も一般的な近似方法は何ですか？

**Tip:** 極限の計算では、項の漸近的な振る舞いを見積もることが重要です。

lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{4n+1} n \sin\left( \frac{k\pi}{2n} \right)

Step-by-step solution of the limit of the summation involving n sin(kπ / 2n) for large n. The solution uses trigonometric approximations for small angles and summation formulas, making it suitable for advanced calculus students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation