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この問題について、途中式を含めて、徐々に解を導き出していこう。

この問題は次の形の極限を含む和の問題です：

\[
\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{4n+1} n \sin\left(\frac{k\pi}{2n}\right)
\]

ここから解答を段階的に進めていきましょう。

### ステップ 1: 和の形式を調べる

まず、和を次の形に変形できます：

\[
S_n = \sum_{k=1}^{4n+1} n \sin\left(\frac{k\pi}{2n}\right)
\]

この和は、変数 \( n \) が増加するときの挙動を確認するために、積分の形に近似できそうです。

### ステップ 2: 小さな角度の近似

\(\frac{k\pi}{2n}\) が小さいとき、\(\sin x\) の近似として \(\sin x \approx x\) を使うことができます。よって、\(\sin\left(\frac{k\pi}{2n}\right)\) は次のように近似できます：

\[
\sin\left(\frac{k\pi}{2n}\right) \approx \frac{k\pi}{2n}
\]

これを和に代入すると：

\[
S_n \approx \sum_{k=1}^{4n+1} n \cdot \frac{k\pi}{2n} = \frac{\pi}{2} \sum_{k=1}^{4n+1} k
\]

### ステップ 3: 等差数列の和の公式を使用

ここで、等差数列の和の公式を使用して、\(\sum_{k=1}^{m} k = \frac{m(m+1)}{2}\) を適用します。\(m = 4n+1\) の場合、

\[
\sum_{k=1}^{4n+1} k = \frac{(4n+1)(4n+2)}{2}
\]

これを代入すると：

\[
S_n \approx \frac{\pi}{2} \cdot \frac{(4n+1)(4n+2)}{2}
\]

### ステップ 4: 極限を取る

\(n \to \infty\) のとき、上記の式を簡単にすると：

\[
S_n \approx \frac{\pi}{2} \cdot \frac{4n \cdot 4n}{2} = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{16n^2}{2} = 4\pi n^2
\]

したがって、\(n \to \infty\) の極限は発散します。つまり、この和は発散し、無限大になります。

### 結論:

\[
\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{4n+1} n \sin\left(\frac{k\pi}{2n}\right) = \infty
\]

この問題の極限は存在せず、和は無限大に発散します。

ご不明な点はありますか？詳細な質問や別のステップに関する質問があれば教えてください。

### 関連質問
1. なぜ \(\sin x \approx x\) の近似が適用できるのか、別の角度で説明できますか？
2. 等差数列の和を使用しない方法でこの問題を解くことは可能ですか？
3. 和が発散する他のケースや例はありますか？
4. 積分による近似を使った問題で、和が収束する例を挙げられますか？
5. \(\lim_{n \to \infty} n \sin\left(\frac{\pi}{2n}\right)\) を単体で計算するとどうなりますか？

### ヒント:
無限大を扱う場合、発散するか収束するかを判定するためには、特定の値に収束するかどうかの厳密な証明が重要です。

lim_{n → ∞} ∑_{k=1}^{4n+1} n sin(kπ / 2n)

Explore the step-by-step solution to evaluate the limit of the sum lim_{n → ∞} ∑_{k=1}^{4n+1} n sin(kπ / 2n). The solution involves trigonometric approximations, sum of arithmetic series, and limits, making it suitable for university-level mathematics.

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