Какой предел у последовательности n+n*(-1)^n, где n - натуральное число,

Рассмотрим последовательность, заданную как \( a_n = n + n \cdot (-1)^n \), где \( n \) — натуральное число.

1. Если \( n \) — чётное, то \( (-1)^n = 1 \). Таким образом, для чётных \( n \):
   \[
   a_n = n + n \cdot 1 = 2n.
   \]

2. Если \( n \) — нечётное, то \( (-1)^n = -1 \). Таким образом, для нечётных \( n \):
   \[
   a_n = n + n \cdot (-1) = n - n = 0.
   \]

Теперь исследуем поведение последовательности при \( n \to \infty \):

- Для чётных \( n \), \( a_n = 2n \), и эта часть последовательности стремится к бесконечности.
- Для нечётных \( n \), \( a_n = 0 \), и эта часть последовательности постоянно равна нулю.

Поскольку последовательность колеблется между \( 0 \) и \( 2n \), она не имеет предела в обычном смысле, так как она не сходится к какому-либо одному значению. Однако, если рассматривать подпоследовательности:
- Подпоследовательность для нечётных \( n \) стремится к \( 0 \).
- Подпоследовательность для чётных \( n \) стремится к бесконечности.

Таким образом, последовательность не имеет конечного предела.

Хотите ли вы подробное объяснение, или у вас есть другие вопросы?

**Связанные вопросы:**
1. Как исследовать поведение других типов колеблющихся последовательностей?
2. Какие существуют методы для анализа пределов подпоследовательностей?
3. В каких случаях последовательности могут иметь разные пределы для разных подпоследовательностей?
4. Что такое пределы верхний и нижний для последовательностей?
5. Как различать сходимость и расходимость последовательностей?

**Совет:** при анализе сложных последовательностей полезно рассматривать отдельные подпоследовательности и их поведение.

Какой предел у последовательности n+n*(-1)^n, где n - натуральное число

Analyze the limit of the sequence n + n*(-1)^n where n is a natural number. This detailed solution explores the sequence's oscillating behavior, showing that it does not have a traditional limit but has different limits for its even and odd subsequences. Suitable for university-level mathematical analysis.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation