Рассмотрим последовательность, заданную как $a_n = n + n \cdot (-1)^n$, где $n$ — натуральное число.

1. Если $n$ — чётное, то $(-1)^n = 1$. Таким образом, для чётных $n$: $a_n = n + n \cdot 1 = 2n.$

2. Если $n$ — нечётное, то $(-1)^n = -1$. Таким образом, для нечётных $n$: $a_n = n + n \cdot (-1) = n - n = 0.$

Теперь исследуем поведение последовательности при $n \to \infty$:

• Для чётных $n$, $a_n = 2n$, и эта часть последовательности стремится к бесконечности.
• Для нечётных $n$, $a_n = 0$, и эта часть последовательности постоянно равна нулю.

Поскольку последовательность колеблется между $0$ и $2n$, она не имеет предела в обычном смысле, так как она не сходится к какому-либо одному значению. Однако, если рассматривать подпоследовательности:

• Подпоследовательность для нечётных $n$ стремится к $0$.
• Подпоследовательность для чётных $n$ стремится к бесконечности.

Таким образом, последовательность не имеет конечного предела.

Хотите ли вы подробное объяснение, или у вас есть другие вопросы?

Связанные вопросы:

1. Как исследовать поведение других типов колеблющихся последовательностей?
2. Какие существуют методы для анализа пределов подпоследовательностей?
3. В каких случаях последовательности могут иметь разные пределы для разных подпоследовательностей?
4. Что такое пределы верхний и нижний для последовательностей?
5. Как различать сходимость и расходимость последовательностей?

Совет: при анализе сложных последовательностей полезно рассматривать отдельные подпоследовательности и их поведение.