Чему равен предел $$ \lim_{n\to+\infty}\left(-1\right)^{n}n $$. Приведи доказательство

Рассмотрим предел:

\[
\lim_{n \to +\infty} \left(-1\right)^{n} n
\]

### Шаг 1: Разберём поведение последовательности $ (-1)^n $
Последовательность $ (-1)^n $ чередуется: при чётных $ n $, $ (-1)^n = 1 $, а при нечётных $ n $, $ (-1)^n = -1 $. То есть:

\[
(-1)^n = 
\begin{cases}
1, & \text{если } n \text{ чётное}, \\
-1, & \text{если } n \text{ нечётное}.
\end{cases}
\]

### Шаг 2: Произведение $ (-1)^n n $
Теперь рассмотрим последовательность $ (-1)^n n $, где $ n \to +\infty $. При этом:

- Если $ n $ чётное, то $ (-1)^n n = n $, что стремится к $ +\infty $.
- Если $ n $ нечётное, то $ (-1)^n n = -n $, что стремится к $ -\infty $.

Таким образом, последовательность $ (-1)^n n $ при возрастании $ n $ чередуется между большими положительными и отрицательными значениями. То есть:

- При чётных $ n $ значения $ (-1)^n n $ стремятся к $ +\infty $,
- При нечётных $ n $ значения $ (-1)^n n $ стремятся к $ -\infty $.

### Шаг 3: Вывод
Так как значения последовательности не приближаются к какому-либо конечному числу, а чередуются между $ +\infty $ и $ -\infty $, то можно заключить, что предела не существует.

\[
\lim_{n \to +\infty} \left(-1\right)^n n = \text{не существует}.
\]

### Итог:
Предел $ \lim_{n \to +\infty} \left(-1\right)^n n $ **не существует**.

Хочешь узнать подробности? Или есть вопросы?

---

1. Как повлияет на результат изменение знака в последовательности $ (-1)^n n^2 $?
2. Почему не существует конечного предела у чередующихся последовательностей?
3. Какое значение был бы предел при $ (-1)^n/n $, если бы был предел?
4. Что происходит с чередующимися последовательностями при $ n \to +\infty $?
5. Как изменить последовательность $ (-1)^n n $, чтобы у неё появился конечный предел?

**Совет**: Для анализа последовательностей всегда полезно исследовать поведение при чётных и нечётных значениях $ n $.

Explore the limit of the sequence (-1)^n n as n approaches infinity. This detailed solution explains the oscillating behavior of the sequence and why it lacks a finite limit. Relevant to university-level calculus or higher mathematics.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation