Wir betrachten die rekursiv definierte Folge $a_n$, gegeben durch die Gleichung:

$a_n = \sqrt{3a_{n-1} - 2} \quad \text{mit} \quad a_1 = \frac{3}{2} \quad \text{und} \quad n \geq 2.$

Um den Limes dieser Folge zu bestimmen, nehmen wir an, dass die Folge einen Grenzwert $L$ hat, wenn $n \to \infty$. Das bedeutet, dass sowohl $a_n$ als auch $a_{n-1}$ gegen $L$ konvergieren. Setzen wir also $a_n = a_{n-1} = L$ in die rekursive Gleichung ein:

$L = \sqrt{3L - 2}.$

Nun quadrieren wir beide Seiten, um die Wurzel zu eliminieren:

$L^2 = 3L - 2.$

Das ist eine quadratische Gleichung. Bringen wir alle Terme auf eine Seite:

$L^2 - 3L + 2 = 0.$

Diese quadratische Gleichung lösen wir durch Faktorisierung:

$(L - 1)(L - 2) = 0.$

Daraus folgt:

$L = 1 \quad \text{oder} \quad L = 2.$

Nun müssen wir prüfen, welcher dieser beiden Werte der tatsächliche Grenzwert der Folge ist. Dazu betrachten wir die Folgewerte und die Anfangsbedingung $a_1 = \frac{3}{2}$, die zwischen 1 und 2 liegt. Da $a_1$ in diesem Intervall liegt und die rekursive Formel eine monoton steigende Folge ergibt (da $a_n = \sqrt{3a_{n-1} - 2}$ für $a_{n-1} \geq 1$ positiv ist), konvergiert die Folge gegen den größeren Wert $L = 2$.

Der Grenzwert der Folge ist also:

$\lim_{n \to \infty} a_n = 2.$

Möchtest du Details zu einem der Schritte oder hast du Fragen dazu?

Hier sind 5 weiterführende Fragen:

1. Wie testet man allgemein, ob eine rekursive Folge konvergiert?
2. Warum ist die Monotonie wichtig für die Konvergenz einer Folge?
3. Wie könnte man das Verhalten der Folge grafisch darstellen?
4. Was passiert, wenn $a_1$ außerhalb des Intervalls $[1, 2]$ liegt?
5. Wie kann man rekursive Folgen numerisch näherungsweise berechnen?

Tipp: Bei rekursiven Folgen ist es oft hilfreich, den Grenzwert zu vermuten und dann die rekursive Gleichung zu lösen, um den Limes zu bestimmen.