נחפש את הגבול של הביטוי הבא כאשר $x \to 0$:

$\lim_{x \to 0} \frac{\left( \cos(x) - 1 \right)^3}{\left( \sin(x) - x \right)^2}$

כדי לחשב את הגבול באמצעות פולינום טיילור, נתחיל עם פיתוח טיילור של הפונקציות $\cos(x)$ ו-$\sin(x)$ סביב $x = 0$.

1. פולינום טיילור של $\cos(x)$ בסביבות 0:

הפיתוח של $\cos(x)$ הוא:

$\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4)$

לכן,

$\cos(x) - 1 = - \frac{x^2}{2} + O(x^4)$

אז,

$\left( \cos(x) - 1 \right)^3 = \left( - \frac{x^2}{2} + O(x^4) \right)^3 = - \frac{x^6}{8} + O(x^8)$

2. פולינום טיילור של $\sin(x)$ בסביבות 0:

הפיתוח של $\sin(x)$ הוא:

$\sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$

לכן,

$\sin(x) - x = - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$

אז,

$\left( \sin(x) - x \right)^2 = \left( - \frac{x^3}{6} + O(x^5) \right)^2 = \frac{x^6}{36} + O(x^8)$

3. הצבת הפיתוחים:

נחזור לביטוי הראשוני:

$\frac{\left( \cos(x) - 1 \right)^3}{\left( \sin(x) - x \right)^2} = \frac{- \frac{x^6}{8} + O(x^8)}{\frac{x^6}{36} + O(x^8)}$

כאשר נבטל את $x^6$ מהמכנה וממכנה, נקבל:

$= \frac{- \frac{1}{8} + O(x^2)}{\frac{1}{36} + O(x^2)}$

כאשר $x \to 0$, הערכים של $O(x^2)$ נעלמים, ולכן נשאר עם:

$= \frac{- \frac{1}{8}}{\frac{1}{36}} = - \frac{36}{8} = - \frac{9}{2}$

תשובה:

הגבול המבוקש הוא:

$\lim_{x \to 0} \frac{\left( \cos(x) - 1 \right)^3}{\left( \sin(x) - x \right)^2} = - \frac{9}{2}$

אם יש לך שאלות נוספות או אם אתה רוצה עזרה בהסברים נוספים, אני כאן לעזור!

שאלות נוספות:

1. מהו פיתוח טיילור של פונקציות טריגונומטריות אחרות?
2. איך נוכל לחשב גבולות של פונקציות באמצעות סדרות טיילור?
3. כיצד ניתן לבדוק את ההקשר של הגבול על ידי שימוש בחוקי לופיטל?
4. איך ניתן לחשב את הגבול של ביטויים עם חזקות גבוהות של $x$?
5. אילו דרכים נוספות יש לחשב גבולות של ביטויים טריגונומטריים?

טיפ:

כדי לחשב גבולות בצורה מהירה ומדויקת, תמיד מומלץ להתחיל בפיתוח טיילור של הפונקציות המעורבות – זה יכול להקל על ההתמודדות עם ביטויים שנראים מסובכים.