calculer limite en 0 de ((x+1)^8-1)*sinx)/(1-cosx)

Pour calculer la limite suivante lorsque \( x \to 0 \):

\[
\lim_{x \to 0} \frac{((x+1)^8 - 1) \cdot \sin(x)}{1 - \cos(x)}
\]

nous allons analyser chaque partie séparément et appliquer des développements limités pour simplifier l'expression.

### Étape 1 : Développement limité de \( (x+1)^8 - 1 \)
Utilisons le développement limité pour \( (x+1)^8 \) autour de \( x = 0 \):
\[
(x+1)^8 = 1 + 8x + \frac{8 \cdot 7}{2} x^2 + o(x^2) = 1 + 8x + 28x^2 + o(x^2).
\]
Donc,
\[
(x+1)^8 - 1 = 8x + 28x^2 + o(x^2).
\]

### Étape 2 : Développement limité de \( \sin(x) \)
Pour \( \sin(x) \) autour de \( x = 0 \), nous avons :
\[
\sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3).
\]

### Étape 3 : Développement limité de \( 1 - \cos(x) \)
Pour \( 1 - \cos(x) \) autour de \( x = 0 \), nous avons :
\[
1 - \cos(x) = \frac{x^2}{2} + o(x^2).
\]

### Étape 4 : Calcul de la limite
Remplaçons ces développements dans l'expression initiale :

\[
\frac{((x+1)^8 - 1) \cdot \sin(x)}{1 - \cos(x)} = \frac{(8x + 28x^2 + o(x^2)) \cdot \left(x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)\right)}{\frac{x^2}{2} + o(x^2)}.
\]

En multipliant, on obtient :
\[
= \frac{(8x^2 + 28x^3 + o(x^3)) \cdot \left(1 - \frac{x^2}{6} + o(x^2)\right)}{\frac{x^2}{2} + o(x^2)}.
\]

Simplifions les termes principaux au numérateur :
\[
= \frac{8x^2 - \frac{8x^4}{6} + 28x^3 + o(x^3)}{\frac{x^2}{2}}.
\]

En divisant chaque terme par \( \frac{x^2}{2} \) au dénominateur, on obtient :
\[
= \frac{8x^2}{\frac{x^2}{2}} + \frac{28x^3}{\frac{x^2}{2}} + o(1).
\]

Cela donne :
\[
= 16 + o(1).
\]

### Conclusion
Donc, la limite cherchée est :
\[
\lim_{x \to 0} \frac{((x+1)^8 - 1) \cdot \sin(x)}{1 - \cos(x)} = 16.
\]

Souhaitez-vous des détails supplémentaires ou avez-vous des questions ?

---

1. Comment généraliser cette méthode pour d'autres limites avec des fonctions trigonométriques ?
2. Quels autres développements limités sont utiles en analyse ?
3. Comment appliquer L'Hôpital pour vérifier ce résultat ?
4. Quelles sont les alternatives aux développements limités dans le calcul des limites ?
5. Comment calculer des limites similaires dans des cas plus complexes ?

**Conseil** : Lors du calcul de limites impliquant des fonctions trigonométriques, les développements limités permettent souvent de simplifier grandement les calculs.

Learn how to calculate the limit of the expression ((x+1)^8 - 1) * sin(x) / (1 - cos(x)) as x approaches 0 using series expansions and limit properties. This solution involves key concepts of calculus such as limit evaluation, Taylor expansions, and trigonometric functions. Suitable for high school students studying advanced calculus.

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