Pour calculer la limite suivante lorsque $x \to 0$:

$\lim_{x \to 0} \frac{((x+1)^8 - 1) \cdot \sin(x)}{1 - \cos(x)}$

nous allons analyser chaque partie séparément et appliquer des développements limités pour simplifier l'expression.

Étape 1 : Développement limité de $(x+1)^8 - 1$

Utilisons le développement limité pour $(x+1)^8$ autour de $x = 0$: $(x+1)^8 = 1 + 8x + \frac{8 \cdot 7}{2} x^2 + o(x^2) = 1 + 8x + 28x^2 + o(x^2).$ Donc, $(x+1)^8 - 1 = 8x + 28x^2 + o(x^2).$

Étape 2 : Développement limité de $\sin(x)$

Pour $\sin(x)$ autour de $x = 0$, nous avons : $\sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3).$

Étape 3 : Développement limité de $1 - \cos(x)$

Pour $1 - \cos(x)$ autour de $x = 0$, nous avons : $1 - \cos(x) = \frac{x^2}{2} + o(x^2).$

Étape 4 : Calcul de la limite

Remplaçons ces développements dans l'expression initiale :

$\frac{((x+1)^8 - 1) \cdot \sin(x)}{1 - \cos(x)} = \frac{(8x + 28x^2 + o(x^2)) \cdot \left(x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)\right)}{\frac{x^2}{2} + o(x^2)}.$

En multipliant, on obtient : $= \frac{(8x^2 + 28x^3 + o(x^3)) \cdot \left(1 - \frac{x^2}{6} + o(x^2)\right)}{\frac{x^2}{2} + o(x^2)}.$

Simplifions les termes principaux au numérateur : $= \frac{8x^2 - \frac{8x^4}{6} + 28x^3 + o(x^3)}{\frac{x^2}{2}}.$

En divisant chaque terme par $\frac{x^2}{2}$ au dénominateur, on obtient : $= \frac{8x^2}{\frac{x^2}{2}} + \frac{28x^3}{\frac{x^2}{2}} + o(1).$

Cela donne : $= 16 + o(1).$

Conclusion

Donc, la limite cherchée est : $\lim_{x \to 0} \frac{((x+1)^8 - 1) \cdot \sin(x)}{1 - \cos(x)} = 16.$

Souhaitez-vous des détails supplémentaires ou avez-vous des questions ?

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1. Comment généraliser cette méthode pour d'autres limites avec des fonctions trigonométriques ?
2. Quels autres développements limités sont utiles en analyse ?
3. Comment appliquer L'Hôpital pour vérifier ce résultat ?
4. Quelles sont les alternatives aux développements limités dans le calcul des limites ?
5. Comment calculer des limites similaires dans des cas plus complexes ?

Conseil : Lors du calcul de limites impliquant des fonctions trigonométriques, les développements limités permettent souvent de simplifier grandement les calculs.