Untuk menyelesaikan limit berikut:

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos(3x) - \cos(x)}{x^2 \sqrt{4 - x}}$

kita bisa mulai dengan menggunakan pendekatan deret Taylor untuk $\cos(3x)$ dan $\cos(x)$ di sekitar $x = 0$. Deret Taylor untuk fungsi kosinus sekitar $x = 0$ adalah:

$\cos(x) \approx 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4)$

Jadi:

$\cos(3x) \approx 1 - \frac{(3x)^2}{2} = 1 - \frac{9x^2}{2} + O(x^4)$ $\cos(x) \approx 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4)$

Kemudian substitusi ke dalam ekspresi limit:

$\frac{\cos(3x) - \cos(x)}{x^2 \sqrt{4 - x}} = \frac{\left(1 - \frac{9x^2}{2}\right) - \left(1 - \frac{x^2}{2}\right)}{x^2 \sqrt{4 - x}}$

Menyederhanakan pembilang:

$\cos(3x) - \cos(x) = \left(1 - \frac{9x^2}{2}\right) - \left(1 - \frac{x^2}{2}\right) = -4x^2$

Sehingga limit menjadi:

$\frac{-4x^2}{x^2 \sqrt{4 - x}}$

Menyederhanakan lebih lanjut:

$= \frac{-4}{\sqrt{4 - x}}$

Karena $\lim_{x \to 0} \sqrt{4 - x} = \sqrt{4} = 2$, kita dapat menghitung limit akhirnya:

$\lim_{x \to 0} \frac{-4}{\sqrt{4 - x}} = \frac{-4}{2} = -2$

Jadi, nilai dari limit tersebut adalah:

$\boxed{-2}$

Apakah Anda ingin penjelasan lebih rinci atau ada yang ingin ditanyakan?

Berikut 5 pertanyaan terkait:

1. Bagaimana cara menggunakan deret Taylor untuk fungsi lain seperti sinus atau eksponensial?
2. Apa aturan umum untuk menghitung limit fungsi trigonometri?
3. Bagaimana jika limit melibatkan bentuk tak tentu seperti $\frac{0}{0}$?
4. Apa metode lain untuk menyelesaikan limit selain deret Taylor?
5. Bagaimana peran L'Hopital dalam menyelesaikan limit seperti ini?

Tip: Deret Taylor seringkali sangat berguna untuk mendekati fungsi sekitar titik tertentu, khususnya untuk menghitung limit dan nilai pendekatan lainnya.