Nilai dari lim x -> 0 (cos 3x - cos x)/(x ^ 2 * sqrt(4 - x)) adalah ...

Untuk menyelesaikan limit berikut:

\[
\lim_{x \to 0} \frac{\cos(3x) - \cos(x)}{x^2 \sqrt{4 - x}}
\]

kita bisa mulai dengan menggunakan pendekatan deret Taylor untuk \( \cos(3x) \) dan \( \cos(x) \) di sekitar \( x = 0 \). Deret Taylor untuk fungsi kosinus sekitar \( x = 0 \) adalah:

\[
\cos(x) \approx 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4)
\]

Jadi:

\[
\cos(3x) \approx 1 - \frac{(3x)^2}{2} = 1 - \frac{9x^2}{2} + O(x^4)
\]
\[
\cos(x) \approx 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4)
\]

Kemudian substitusi ke dalam ekspresi limit:

\[
\frac{\cos(3x) - \cos(x)}{x^2 \sqrt{4 - x}} = \frac{\left(1 - \frac{9x^2}{2}\right) - \left(1 - \frac{x^2}{2}\right)}{x^2 \sqrt{4 - x}}
\]

Menyederhanakan pembilang:

\[
\cos(3x) - \cos(x) = \left(1 - \frac{9x^2}{2}\right) - \left(1 - \frac{x^2}{2}\right) = -4x^2
\]

Sehingga limit menjadi:

\[
\frac{-4x^2}{x^2 \sqrt{4 - x}}
\]

Menyederhanakan lebih lanjut:

\[
= \frac{-4}{\sqrt{4 - x}}
\]

Karena \( \lim_{x \to 0} \sqrt{4 - x} = \sqrt{4} = 2 \), kita dapat menghitung limit akhirnya:

\[
\lim_{x \to 0} \frac{-4}{\sqrt{4 - x}} = \frac{-4}{2} = -2
\]

Jadi, nilai dari limit tersebut adalah:

\[
\boxed{-2}
\]

Apakah Anda ingin penjelasan lebih rinci atau ada yang ingin ditanyakan? 

Berikut 5 pertanyaan terkait:
1. Bagaimana cara menggunakan deret Taylor untuk fungsi lain seperti sinus atau eksponensial?
2. Apa aturan umum untuk menghitung limit fungsi trigonometri?
3. Bagaimana jika limit melibatkan bentuk tak tentu seperti \( \frac{0}{0} \)?
4. Apa metode lain untuk menyelesaikan limit selain deret Taylor?
5. Bagaimana peran L'Hopital dalam menyelesaikan limit seperti ini?

**Tip**: Deret Taylor seringkali sangat berguna untuk mendekati fungsi sekitar titik tertentu, khususnya untuk menghitung limit dan nilai pendekatan lainnya.

Nilai dari lim x -> 0 (cos 3x - cos x)/(x^2 * sqrt(4 - x)) adalah ...

Learn how to solve the limit lim x -> 0 (cos(3x) - cos(x)) / (x^2 sqrt(4 - x)) using Taylor series expansion and limit properties. This detailed explanation covers the approximation of trigonometric functions and step-by-step simplifications. Suitable for advanced high school or undergraduate calculus students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation