Рассмотрим предел:

$\lim_{n\to\infty}\frac{3n^2+3}{5n^2+10}$

Шаг 1: Деление на старшую степень $n^2$

Чтобы упростить выражение, мы можем разделить числитель и знаменатель на старшую степень $n^2$, поскольку это самая высокая степень переменной $n$ в данном выражении. Разделим как числитель, так и знаменатель на $n^2$:

$\frac{3n^2 + 3}{5n^2 + 10} = \frac{\frac{3n^2 + 3}{n^2}}{\frac{5n^2 + 10}{n^2}} = \frac{3 + \frac{3}{n^2}}{5 + \frac{10}{n^2}}$

Шаг 2: Переход к пределу при $n \to \infty$

Теперь, когда мы разделили все на $n^2$, можно рассмотреть поведение каждого члена при стремлении $n$ к бесконечности. Для членов, содержащих $\frac{1}{n^2}$, при $n \to \infty$ получаем:

$\lim_{n\to\infty} \frac{3}{n^2} = 0, \quad \lim_{n\to\infty} \frac{10}{n^2} = 0$

Таким образом, при $n \to \infty$, выражение становится:

$\frac{3 + 0}{5 + 0} = \frac{3}{5}$

Ответ:

$\lim_{n\to\infty}\frac{3n^2+3}{5n^2+10} = \frac{3}{5}$

Доказательство правильности:

1. Мы упростили исходное выражение, поделив числитель и знаменатель на $n^2$, что позволило явно видеть, как ведут себя члены с $\frac{1}{n^2}$ при $n \to \infty$.
2. При $n \to \infty$, члены, содержащие $\frac{1}{n^2}$, стремятся к нулю, что позволило получить окончательный результат в виде отношения констант $\frac{3}{5}$.
3. Переход к пределу был выполнен корректно с использованием основных правил работы с пределами.

Дополнительные вопросы:

1. Как повлияет на решение, если старшая степень в знаменателе будет больше, чем в числителе?
2. Как изменить решение, если вместо $n^2$ в числителе и знаменателе будут степени $n^3$?
3. Можно ли решить этот предел, используя правила Лопиталя? Если да, то как?
4. Как ведет себя предел, если добавить логарифмические или экспоненциальные функции к выражению?
5. Каковы критерии для использования различных методов нахождения пределов, например, разложения в ряд Тейлора?

Советы:

При решении пределов, связанных с рациональными функциями, полезно сначала делить на старшую степень, чтобы упростить выражение и увидеть явное поведение при $n \to \infty$.