Как можно доказать правильность решения для предела с $$ \lim_{n\to\infty}\frac{3n^2+3}{5n^2+10} $$

Рассмотрим предел:

\[
\lim_{n\to\infty}\frac{3n^2+3}{5n^2+10}
\]

### Шаг 1: Деление на старшую степень $n^2$

Чтобы упростить выражение, мы можем разделить числитель и знаменатель на старшую степень $n^2$, поскольку это самая высокая степень переменной $n$ в данном выражении. Разделим как числитель, так и знаменатель на $n^2$:

\[
\frac{3n^2 + 3}{5n^2 + 10} = \frac{\frac{3n^2 + 3}{n^2}}{\frac{5n^2 + 10}{n^2}} = \frac{3 + \frac{3}{n^2}}{5 + \frac{10}{n^2}}
\]

### Шаг 2: Переход к пределу при $n \to \infty$

Теперь, когда мы разделили все на $n^2$, можно рассмотреть поведение каждого члена при стремлении $n$ к бесконечности. Для членов, содержащих $ \frac{1}{n^2} $, при $n \to \infty$ получаем:

\[
\lim_{n\to\infty} \frac{3}{n^2} = 0, \quad \lim_{n\to\infty} \frac{10}{n^2} = 0
\]

Таким образом, при $n \to \infty$, выражение становится:

\[
\frac{3 + 0}{5 + 0} = \frac{3}{5}
\]

### Ответ:

\[
\lim_{n\to\infty}\frac{3n^2+3}{5n^2+10} = \frac{3}{5}
\]

### Доказательство правильности:

1. Мы упростили исходное выражение, поделив числитель и знаменатель на $n^2$, что позволило явно видеть, как ведут себя члены с $ \frac{1}{n^2} $ при $ n \to \infty $.
2. При $n \to \infty$, члены, содержащие $ \frac{1}{n^2} $, стремятся к нулю, что позволило получить окончательный результат в виде отношения констант $ \frac{3}{5} $.
3. Переход к пределу был выполнен корректно с использованием основных правил работы с пределами.

### Дополнительные вопросы:
1. Как повлияет на решение, если старшая степень в знаменателе будет больше, чем в числителе?
2. Как изменить решение, если вместо $n^2$ в числителе и знаменателе будут степени $n^3$?
3. Можно ли решить этот предел, используя правила Лопиталя? Если да, то как?
4. Как ведет себя предел, если добавить логарифмические или экспоненциальные функции к выражению?
5. Каковы критерии для использования различных методов нахождения пределов, например, разложения в ряд Тейлора?

### Советы:
При решении пределов, связанных с рациональными функциями, полезно сначала делить на старшую степень, чтобы упростить выражение и увидеть явное поведение при $n \to \infty$.

Explore the step-by-step solution to the limit problem \lim_{n\to\infty}\frac{3n^2+3}{5n^2+10}. Learn how dividing by the highest power of n simplifies the expression, and how the result converges to \frac{3}{5}. This problem highlights key concepts in limits, asymptotic behavior, and rational functions. Suitable for advanced high school or undergraduate students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation