Вы отлично разобрали этот предел! Давайте я изложу это немного структурированно, чтобы акцентировать основные шаги и пояснения:

---

Найти предел:

$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{5n + 3}{5n + 5} \right)^{5n + 1}$

---

1. Упрощение дроби:

Разделим числитель и знаменатель дроби $\frac{5n + 3}{5n + 5}$ на $n$:

$\frac{5n + 3}{5n + 5} = \frac{5 + \frac{3}{n}}{5 + \frac{5}{n}}.$

При $n \to \infty$, дробь стремится к $\frac{5}{5} = 1$, но для учета степени логарифм поможет раскрыть нюансы.

---

2. Переход к логарифму:

Пусть $L = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{5n + 3}{5n + 5} \right)^{5n + 1}$. Тогда:

$\ln L = \lim_{n \to \infty} (5n + 1) \ln\left(\frac{5n + 3}{5n + 5}\right).$

---

3. Упрощение логарифма:

Рассмотрим $\ln\left(\frac{5n + 3}{5n + 5}\right)$:

$\ln\left(\frac{5n + 3}{5n + 5}\right) = \ln\left(1 - \frac{2}{5n + 5}\right).$

Используем разложение $\ln(1 - x) \approx -x$ при $x \to 0$:

$\ln\left(\frac{5n + 3}{5n + 5}\right) \approx -\frac{2}{5n + 5}.$

---

4. Вычисление предела:

Теперь подставим это в предел $\ln L$:

$\ln L = \lim_{n \to \infty} (5n + 1) \cdot \left(-\frac{2}{5n + 5}\right).$

Упростим:

$\ln L = -2 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{5n + 1}{5n + 5}.$

Разделим числитель и знаменатель на $n$:

$\frac{5n + 1}{5n + 5} = \frac{5 + \frac{1}{n}}{5 + \frac{5}{n}} \to \frac{5}{5} = 1.$

Итак:

$\ln L = -2 \cdot 1 = -2.$

---

5. Переход к экспоненте:

$L = e^{-2}.$

---

6. Окончательный ответ:

$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{5n + 3}{5n + 5} \right)^{5n + 1} = e^{-2} \approx 0.1353.$

---

Ошибка в предыдущем выводе:

Ваш исходный расчет ошибочно предполагал $e^{2}$, тогда как правильный ответ $e^{-2}$. Возможно, ошибка возникла в знаке логарифма.

---

Если что-то непонятно или вы хотите уточнить детали — напишите! 😊

---

Связанные вопросы:

1. Почему разложение $\ln(1 + x) \approx x$ справедливо при малых $x$?
2. Как проверить такие пределы с использованием правила Лопиталя?
3. Что изменится, если степень $5n + 1$ заменить на $n^2$?
4. Почему предел $\frac{5n+3}{5n+5}$ стремится к 1?
5. Как использовать разложения в ряды Тейлора для приближенного вычисления таких выражений?

Совет: Всегда проверяйте знаки в выражении для логарифма — это ключ к корректному результату!