
Найти предел lim=((2n-1):(2n+1)^3n-2

Предел, который необходимо найти:

\[
\lim_{n \to \infty} \frac{2n - 1}{(2n + 1)^{3n - 2}}
\]

### Шаг 1: Упрощение числителя и знаменателя для большого \( n \)
Для очень больших значений \( n \), можно сделать следующее приближение:

\[
2n - 1 \approx 2n
\]
\[
2n + 1 \approx 2n
\]

Таким образом, выражение можно приблизительно переписать:

\[
\lim_{n \to \infty} \frac{2n}{(2n)^{3n - 2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2n}{(2n)^{3n - 2}}
\]

### Шаг 2: Выражение с помощью показательной функции
Теперь упростим выражение:

\[
\frac{2n}{(2n)^{3n - 2}} = \frac{2n}{2^{3n - 2}n^{3n - 2}}
\]

Разделим:

\[
= \frac{2n}{2^{3n-2} \cdot n^{3n-2}} = \frac{1}{2^{3n-3} \cdot n^{3n-3}}
\]

### Шаг 3: Предел
Теперь рассмотрим предел этого выражения при \( n \to \infty \):

\[
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{3n-3} \cdot n^{3n-3}}
\]

При стремлении \( n \to \infty \), как \( 2^{3n - 3} \), так и \( n^{3n - 3} \) будут расти очень быстро, и знаменатель будет стремиться к бесконечности, а всё выражение — к нулю.

### Ответ:
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{2n - 1}{(2n + 1)^{3n - 2}} = 0
\]

Хотите дополнительные подробности или есть вопросы?

### Вопросы:
1. Как можно использовать асимптотические приближения для других типов выражений?
2. Почему большие степени сильно влияют на результат предела?
3. Можно ли применить к этой задаче правило Лопиталя?
4. Что происходит с отношением многочленов к экспоненте при больших значениях \( n \)?
5. Как можно переписать выражение через логарифм для более точного анализа?

### Совет:
Всегда полезно приблизить выражения для больших \( n \) перед применением предельных переходов, чтобы упростить вычисления.

Найти предел lim=((2n-1):(2n+1)^3n-2

Discover the step-by-step solution to finding the limit of lim_{n \to \infty} \frac{2n - 1}{(2n + 1)^{3n - 2}}. Learn key mathematical concepts like limits, asymptotic approximations, and exponentiation, with detailed explanations suitable for college-level students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation