Чтобы найти предел:

$\lim_{{n \to \infty}} \left(\frac{{2n - 1}}{{2n + 1}}\right)^{3n - 2}$

Шаг 1: Упростим выражение внутри скобок.

Рассмотрим дробь $\frac{{2n - 1}}{{2n + 1}}$:

$\frac{{2n - 1}}{{2n + 1}} = \frac{2n(1 - \frac{1}{2n})}{2n(1 + \frac{1}{2n})} = \frac{1 - \frac{1}{2n}}{1 + \frac{1}{2n}}$

При $n \to \infty$, это приближается к 1, но нам нужно более точное приближение.

$\frac{{1 - \frac{1}{2n}}}{{1 + \frac{1}{2n}}} \approx 1 - \frac{1}{n}$

Шаг 2: Перепишем предел.

Теперь выразим предел как:

$\lim_{{n \to \infty}} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^{3n - 2}$

Шаг 3: Применение свойства логарифмов.

Известно, что:

$\lim_{{n \to \infty}} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n = \frac{1}{e}$

Следовательно, мы можем переписать выражение как:

$\lim_{{n \to \infty}} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^{3n} = \frac{1}{e^3}$

Итак, приближенное значение предела:

$\boxed{0}$

Ответ: $\lim_{{n \to \infty}} \left(\frac{{2n - 1}}{{2n + 1}}\right)^{3n - 2} = 0$.

Хотите подробностей или есть вопросы?

Связанные вопросы:

1. Как найти предел для других подобных дробных последовательностей?
2. Как рассчитать предел с использованием разложения Тейлора?
3. Как рассчитать предел при наличии логарифмов в числителе или знаменателе?
4. Какой принцип лежит в основе использования экспоненциальных приближений в пределах?
5. Какие альтернативные методы можно использовать для доказательства, что предел равен 0?

Совет: При решении пределов дробных последовательностей полезно использовать разложения в ряд или приближенные формулы для упрощения сложных выражений.