Найти предел lim=((2n-1):(2n+1))^3n-2

Чтобы найти предел:

\[
\lim_{{n \to \infty}} \left(\frac{{2n - 1}}{{2n + 1}}\right)^{3n - 2}
\]

**Шаг 1: Упростим выражение внутри скобок.**

Рассмотрим дробь \(\frac{{2n - 1}}{{2n + 1}}\):

\[
\frac{{2n - 1}}{{2n + 1}} = \frac{2n(1 - \frac{1}{2n})}{2n(1 + \frac{1}{2n})} = \frac{1 - \frac{1}{2n}}{1 + \frac{1}{2n}}
\]

При \(n \to \infty\), это приближается к 1, но нам нужно более точное приближение.

\[
\frac{{1 - \frac{1}{2n}}}{{1 + \frac{1}{2n}}} \approx 1 - \frac{1}{n}
\]

**Шаг 2: Перепишем предел.**

Теперь выразим предел как:

\[
\lim_{{n \to \infty}} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^{3n - 2}
\]

**Шаг 3: Применение свойства логарифмов.**

Известно, что:

\[
\lim_{{n \to \infty}} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n = \frac{1}{e}
\]

Следовательно, мы можем переписать выражение как:

\[
\lim_{{n \to \infty}} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^{3n} = \frac{1}{e^3}
\]

Итак, приближенное значение предела:

\[
\boxed{0}
\]

### Ответ: \( \lim_{{n \to \infty}} \left(\frac{{2n - 1}}{{2n + 1}}\right)^{3n - 2} = 0 \).

Хотите подробностей или есть вопросы?

### Связанные вопросы:
1. Как найти предел для других подобных дробных последовательностей?
2. Как рассчитать предел с использованием разложения Тейлора?
3. Как рассчитать предел при наличии логарифмов в числителе или знаменателе?
4. Какой принцип лежит в основе использования экспоненциальных приближений в пределах?
5. Какие альтернативные методы можно использовать для доказательства, что предел равен 0?

### Совет: При решении пределов дробных последовательностей полезно использовать разложения в ряд или приближенные формулы для упрощения сложных выражений.

Discover how to find the limit of ((2n-1)/(2n+1))^(3n-2) as n approaches infinity. This solution involves key mathematical concepts such as limits, logarithmic approximation, and exponential limit theorems. Suitable for advanced math students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation