Двугранный угол при боковом ребре правильной треугольной пирамиды равен 120°, а сторона основания равна 3 √2 . Найдите боковую поверхность пирамиды.


Для того чтобы найти боковую поверхность правильной треугольной пирамиды, воспользуемся следующими данными:

1. Двугранный угол при боковом ребре \( \alpha = 120^\circ \).
2. Сторона основания \( a = 3\sqrt{2} \).

Шаг 1. **Вычислим высоту боковой грани пирамиды (апофему)**.

В правильной треугольной пирамиде боковая грань — это равнобедренный треугольник, а основание — правильный треугольник. Боковое ребро (или апофема) образует с высотой пирамиды угол, равный половине двугранного угла. Половина угла при боковом ребре:

\[
\beta = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ
\]

Тогда, из соотношения в прямоугольном треугольнике, где апофема \( l \), высота пирамиды \( h \) и радиус описанной окружности основания \( R \) связаны соотношением:

\[
\cos 60^\circ = \frac{h}{l}
\]

Шаг 2. **Вычислим радиус описанной окружности основания**.

В правильном треугольнике радиус описанной окружности выражается через сторону основания \( a \):

\[
R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \sqrt{6}
\]

Шаг 3. **Найдем высоту пирамиды**.

Высота пирамиды \( h \) связана с радиусом \( R \) и апофемой \( l \) следующим образом:

\[
h = R \cdot \cos 60^\circ = \sqrt{6} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}
\]

Шаг 4. **Найдем апофему**.

Теперь, зная высоту пирамиды и радиус описанной окружности, можем выразить апофему через высоту пирамиды:

\[
l = \frac{h}{\cos 60^\circ} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{6}
\]

Шаг 5. **Вычислим боковую поверхность пирамиды**.

Боковая поверхность правильной треугольной пирамиды — это сумма площадей трёх боковых граней. Каждая боковая грань представляет собой равнобедренный треугольник с основанием \( a = 3\sqrt{2} \) и высотой \( l = \sqrt{6} \). Площадь одной боковой грани:

\[
S_1 = \frac{1}{2} a l = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{6} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \sqrt{12} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2\sqrt{3} = 3\sqrt{3}
\]

Боковая поверхность пирамиды:

\[
S_{\text{бок}} = 3 \cdot S_1 = 3 \cdot 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}
\]

Ответ: боковая поверхность пирамиды равна \( 9\sqrt{3} \).

---

Есть ли у вас вопросы по решению? Вот 5 дополнительных вопросов для расширения темы:

1. Как найти полную поверхность пирамиды, если известна площадь основания?
2. Каким образом влияет угол при ребре на форму боковых граней?
3. Как определить высоту пирамиды через боковое ребро и радиус описанной окружности?
4. Какое значение имеет правильность основания в задаче для расчета поверхностей?
5. Как связаны двугранный угол и угол наклона боковой грани к основанию?

**Совет**: при работе с правильными пирамидами часто полезно помнить соотношения между элементами правильных треугольников, особенно для нахождения радиусов окружностей.

Двугранный угол при боковом ребре правильной треугольной пирамиды равен 120°, а сторона основания равна 3√2. Найдите боковую поверхность пирамиды.

Learn how to find the lateral surface area of a triangular pyramid with a 120° dihedral angle at the lateral edge and a base side of 3√2. This problem explores solid geometry and trigonometric relationships, suitable for Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation