Sebuah kolam panjangnya 46 m, lebar 26 m, kedalamannya 8 m pada ujung yang dalam dan 3 m pada ujung yang dangkal. Alas kolam berbentuk siku empat. Jika kolam diisi dengan memompakan air dengan laju 40 m/menit, seberapa cepat permukaan air naik ketika kedalaman air pada ujung yang dalam adalah 4 m?

Soal ini berkaitan dengan masalah laju perubahan volume air dalam kolam, yang termasuk dalam kategori **persoalan laju terkait (related rates)**. Kita perlu menghitung kecepatan kenaikan permukaan air pada saat kedalaman air di ujung dalam mencapai 4 meter, sementara laju volume air diketahui.

### Langkah-langkah penyelesaian:

#### 1. Bentuk Kolam
Kolam memiliki bentuk alas siku empat, sehingga bentuk vertikalnya bisa dilihat seperti trapesium. Lebar kolam tetap \( W = 26 \, \text{m} \), dan tinggi kolam bervariasi dari 3 m hingga 8 m, yang menggambarkan kemiringan alas.

#### 2. Kedalaman Air
Diberikan bahwa kedalaman air di ujung dalam adalah 4 m, kita akan mencari volume air dalam kolam saat kedalaman di ujung dalam mencapai 4 m.

Perhatikan bahwa tinggi kolam bervariasi secara linear dari 3 m di ujung dangkal hingga 8 m di ujung dalam. Ini berarti kita bisa menggunakan sifat trapesium untuk menggambarkan bentuk kolam berdasarkan tinggi air.

#### 3. Volume Air
Volume air \( V \) dalam kolam bisa dinyatakan sebagai volume prisma dengan alas berupa trapesium. Untuk setiap ketinggian \( h \), panjang sisi alas trapesium bisa bervariasi sesuai dengan perubahan kedalaman.

Misalkan \( h_d \) adalah kedalaman air di ujung yang dalam, dan \( h_s \) adalah kedalaman air di ujung dangkal.

Rumus volume prisma dengan alas trapesium adalah:

\[
V = \text{Luas alas} \times \text{lebar kolam}
\]

Luas alas trapesium adalah:

\[
A = \frac{1}{2} \times (h_d + h_s) \times \text{panjang kolam}
\]

Sehingga, volume air dalam kolam adalah:

\[
V = \frac{1}{2} \times (h_d + h_s) \times 46 \times 26
\]

#### 4. Laju Aliran Air dan Laju Kenaikan Permukaan
Diketahui bahwa air dipompa ke kolam dengan laju 40 m³/menit, sehingga:

\[
\frac{dV}{dt} = 40 \, \text{m}^3/\text{menit}
\]

Kita perlu mencari laju kenaikan permukaan air \( \frac{dh_d}{dt} \) ketika kedalaman di ujung dalam adalah 4 m. Hubungan antara volume air \( V \) dan ketinggian air \( h_d \) adalah:

\[
V(h_d) = \frac{1}{2} \times (h_d + h_s) \times 46 \times 26
\]

#### 5. Menurunkan Persamaan Volume Terhadap Waktu
Kita akan menurunkan persamaan volume \( V(h_d) \) terhadap waktu \( t \), menggunakan aturan rantai:

\[
\frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dh_d} \times \frac{dh_d}{dt}
\]

Untuk menghitung \( \frac{dV}{dh_d} \), kita perlu menurunkan persamaan volume \( V \) terhadap \( h_d \).

\[
\frac{dV}{dh_d} = \frac{1}{2} \times (1) \times 46 \times 26
\]

\[
\frac{dV}{dh_d} = 598 \, \text{m}^2
\]

#### 6. Substitusi dan Hitung \( \frac{dh_d}{dt} \)

Sekarang, kita substitusi nilai \( \frac{dV}{dh_d} \) ke dalam persamaan laju perubahan volume:

\[
40 = 598 \times \frac{dh_d}{dt}
\]

Sehingga, laju kenaikan permukaan air \( \frac{dh_d}{dt} \) adalah:

\[
\frac{dh_d}{dt} = \frac{40}{598} \approx 0.0669 \, \text{m/menit}
\]

### Kesimpulan
Laju kenaikan permukaan air ketika kedalaman di ujung dalam adalah 4 meter adalah sekitar **0,067 meter per menit**.

---

Apakah Anda membutuhkan penjelasan lebih lanjut atau ada yang ingin ditanyakan?

Berikut adalah 5 pertanyaan terkait:
1. Bagaimana laju kenaikan permukaan air berubah seiring dengan bertambahnya kedalaman air?
2. Bagaimana kita bisa menggunakan aturan rantai dalam persoalan lain yang serupa?
3. Mengapa kolam berbentuk trapesium mempengaruhi perhitungan volume?
4. Bagaimana jika laju aliran air dipompa ke kolam berubah? Bagaimana hal ini mempengaruhi hasil?
5. Bagaimana cara memperkirakan waktu yang dibutuhkan untuk mengisi kolam sampai penuh?

**Tip:** Dalam persoalan laju terkait, selalu cari hubungan antara variabel-variabel yang berubah terhadap waktu, dan gunakan aturan rantai untuk menemukan laju perubahan variabel yang diminta.

Temukan cara menghitung laju kenaikan permukaan air dalam sebuah kolam dengan bentuk alas trapesium. Kolam memiliki panjang 46 m dan lebar 26 m, dengan laju pompa air 40 m³/menit. Gunakan rumus volume prisma trapesium dan laju terkait untuk menghitung kenaikan permukaan air ketika kedalaman di ujung dalam adalah 4 meter. Cocok untuk siswa SMA Kelas 11-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation