Untuk menyelesaikan masalah ini dengan metode Lagrange, kita ingin meminimalkan fungsi objektif $f(x, y) = x + y$ dengan kendala $g(x, y) = x^2 + y^2 - 8 = 0$. Berikut adalah langkah-langkahnya:

---

1. Membentuk fungsi Lagrange

Fungsi Lagrange didefinisikan sebagai: $\mathcal{L}(x, y, \lambda) = f(x, y) + \lambda g(x, y)$ Substitusi $f(x, y) = x + y$ dan $g(x, y) = x^2 + y^2 - 8$, maka: $\mathcal{L}(x, y, \lambda) = x + y + \lambda (x^2 + y^2 - 8)$

---

2. Mencari stasioner (turunan parsial)

Hitung turunan parsial terhadap $x$, $y$, dan $\lambda$, lalu setarakan ke nol:

(a) Turunan terhadap $x$:

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 1 + \lambda (2x) = 0$ $1 + 2\lambda x = 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda x = -\frac{1}{2}$

(b) Turunan terhadap $y$:

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 1 + \lambda (2y) = 0$ $1 + 2\lambda y = 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda y = -\frac{1}{2}$

(c) Turunan terhadap $\lambda$:

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = x^2 + y^2 - 8 = 0$ $x^2 + y^2 = 8$

---

3. Hubungan antara $x$ dan $y$

Dari persamaan $\lambda x = -\frac{1}{2}$ dan $\lambda y = -\frac{1}{2}$, diperoleh: $\lambda x = \lambda y \quad \Rightarrow \quad x = y$

---

4. Substitusi ke kendala

Substitusikan $x = y$ ke dalam $x^2 + y^2 = 8$: $x^2 + x^2 = 8 \quad \Rightarrow \quad 2x^2 = 8 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 4$ $x = \pm 2 \quad \text{dan} \quad y = \pm 2$

---

5. Evaluasi fungsi objektif

Substitusi ke $f(x, y) = x + y$:

1. Untuk $(x, y) = (2, 2)$: $f(2, 2) = 2 + 2 = 4$

2. Untuk $(x, y) = (-2, -2)$: $f(-2, -2) = -2 - 2 = -4$

---

6. Kesimpulan

Nilai minimum dari $f(x, y) = x + y$ adalah $-4$ pada titik $(x, y) = (-2, -2)$.

---

Apakah Anda ingin melihat lebih banyak penjelasan? 😊
Berikut beberapa pertanyaan terkait:

1. Bagaimana metode Lagrange digunakan untuk kasus tanpa kendala lingkaran?
2. Apakah ada kondisi ketika nilai maksimum tidak eksis?
3. Bagaimana menangani kendala ganda dengan metode ini?
4. Apa alternatif selain metode Lagrange untuk kasus serupa?
5. Bagaimana jika kendala berupa elips atau parabola?

Tip: Saat menggunakan metode Lagrange, perhatikan hubungan antara gradien fungsi objektif dan kendala: gradiennya harus sejajar.