Menggunakan metode Lagrange, berapakah nilai minimum dari fungsi objektif f(x,y)=x+y dengan kendala x^2+y^2=8?

Your answer




Untuk menyelesaikan masalah ini dengan metode **Lagrange**, kita ingin meminimalkan fungsi objektif \( f(x, y) = x + y \) dengan kendala \( g(x, y) = x^2 + y^2 - 8 = 0 \). Berikut adalah langkah-langkahnya:

---

### 1. Membentuk fungsi Lagrange
Fungsi Lagrange didefinisikan sebagai:
\[
\mathcal{L}(x, y, \lambda) = f(x, y) + \lambda g(x, y)
\]
Substitusi \( f(x, y) = x + y \) dan \( g(x, y) = x^2 + y^2 - 8 \), maka:
\[
\mathcal{L}(x, y, \lambda) = x + y + \lambda (x^2 + y^2 - 8)
\]

---

### 2. Mencari stasioner (turunan parsial)
Hitung turunan parsial terhadap \( x \), \( y \), dan \( \lambda \), lalu setarakan ke nol:

#### (a) Turunan terhadap \( x \):
\[
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 1 + \lambda (2x) = 0
\]
\[
1 + 2\lambda x = 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda x = -\frac{1}{2}
\]

#### (b) Turunan terhadap \( y \):
\[
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 1 + \lambda (2y) = 0
\]
\[
1 + 2\lambda y = 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda y = -\frac{1}{2}
\]

#### (c) Turunan terhadap \( \lambda \):
\[
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = x^2 + y^2 - 8 = 0
\]
\[
x^2 + y^2 = 8
\]

---

### 3. Hubungan antara \( x \) dan \( y \)
Dari persamaan \( \lambda x = -\frac{1}{2} \) dan \( \lambda y = -\frac{1}{2} \), diperoleh:
\[
\lambda x = \lambda y \quad \Rightarrow \quad x = y
\]

---

### 4. Substitusi ke kendala
Substitusikan \( x = y \) ke dalam \( x^2 + y^2 = 8 \):
\[
x^2 + x^2 = 8 \quad \Rightarrow \quad 2x^2 = 8 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 4
\]
\[
x = \pm 2 \quad \text{dan} \quad y = \pm 2
\]

---

### 5. Evaluasi fungsi objektif
Substitusi ke \( f(x, y) = x + y \):

1. Untuk \( (x, y) = (2, 2) \):
\[
f(2, 2) = 2 + 2 = 4
\]

2. Untuk \( (x, y) = (-2, -2) \):
\[
f(-2, -2) = -2 - 2 = -4
\]

---

### 6. Kesimpulan
Nilai minimum dari \( f(x, y) = x + y \) adalah **\(-4\)** pada titik \( (x, y) = (-2, -2) \).

---

Apakah Anda ingin melihat lebih banyak penjelasan? 😊  
Berikut beberapa pertanyaan terkait:  
1. Bagaimana metode Lagrange digunakan untuk kasus tanpa kendala lingkaran?  
2. Apakah ada kondisi ketika nilai maksimum tidak eksis?  
3. Bagaimana menangani kendala ganda dengan metode ini?  
4. Apa alternatif selain metode Lagrange untuk kasus serupa?  
5. Bagaimana jika kendala berupa elips atau parabola?  

**Tip:** Saat menggunakan metode Lagrange, perhatikan hubungan antara gradien fungsi objektif dan kendala: gradiennya harus sejajar.

Menggunakan metode Lagrange, berapakah nilai minimum dari fungsi objektif f(x,y)=x+y dengan kendala x^2+y^2=8?

Learn how to solve a constrained optimization problem using the Lagrange method. This example minimizes f(x, y) = x + y with the constraint x^2 + y^2 = 8, demonstrating key calculus concepts such as Lagrange multipliers and partial derivatives. Ideal for senior high school and college-level students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation