Tina adalah seorang ahli kimia yang sedang bekerja di laboratorium untuk membuat larutan kimia khusus. Dia memiliki dua jenis larutan kimia, Larutan A dan Larutan B, yang harus dicampur dengan proporsi tertentu. Larutan A memiliki konsentrasi 2/x dan Larutan B memiliki konsentrasi x^2/4. Tina harus mencampur kedua larutan tersebut sebanyak 14 kali secara berurutan dan ingin mengetahui koefisien dari suku yang mengandung 

𝑥

4

x 

4

  dalam campuran tersebut. Bisakah kamu membantu Tina menemukan koefisien ini?

Untuk menemukan koefisien dari suku yang mengandung \( x^4 \) dalam campuran larutan tersebut, kita perlu memahami bahwa campuran ini melibatkan dua larutan, A dan B, dengan konsentrasi yang diberikan sebagai fungsi dari \( x \):

- Larutan A: \( \frac{2}{x} \)
- Larutan B: \( \frac{x^2}{4} \)

Karena Tina mencampur kedua larutan tersebut sebanyak 14 kali secara berurutan, ini dapat ditafsirkan sebagai sebuah binomial expansion, di mana kita mencari suku yang mengandung \( x^4 \) dalam ekspansi campuran ini.

### Langkah 1: Menuliskan Campuran sebagai Binomial

Secara umum, campuran kedua larutan ini dapat dianggap sebagai bentuk binomial \((a + b)^n\) dengan:
- \( a = \frac{2}{x} \) (larutan A)
- \( b = \frac{x^2}{4} \) (larutan B)
- \( n = 14 \) (campuran dilakukan sebanyak 14 kali)

Maka, kita mengekspansi bentuk binomial berikut:
\[
\left( \frac{2}{x} + \frac{x^2}{4} \right)^{14}
\]

### Langkah 2: Menggunakan Teorema Binomial

Dalam ekspansi binomial, suku umum dalam bentuk \((a + b)^n\) diberikan oleh:

\[
T_k = \binom{n}{k} a^{n-k} b^k
\]

Untuk \( n = 14 \), suku ke-\( k \) adalah:
\[
T_k = \binom{14}{k} \left( \frac{2}{x} \right)^{14-k} \left( \frac{x^2}{4} \right)^k
\]

Sederhanakan suku ini:
\[
T_k = \binom{14}{k} \frac{2^{14-k}}{x^{14-k}} \cdot \frac{x^{2k}}{4^k}
\]

\[
T_k = \binom{14}{k} \frac{2^{14-k} x^{2k}}{x^{14-k} 4^k}
\]

\[
T_k = \binom{14}{k} \frac{2^{14-k}}{4^k} \cdot x^{2k - (14-k)}
\]

\[
T_k = \binom{14}{k} \frac{2^{14-k}}{(2^2)^k} \cdot x^{2k - 14 + k}
\]

\[
T_k = \binom{14}{k} \frac{2^{14-k}}{2^{2k}} \cdot x^{3k - 14}
\]

\[
T_k = \binom{14}{k} 2^{14 - 3k} x^{3k - 14}
\]

### Langkah 3: Mencari Suku dengan Pangkat \( x^4 \)

Untuk menemukan suku yang mengandung \( x^4 \), kita harus memecahkan persamaan berikut untuk \( k \):

\[
3k - 14 = 4
\]

\[
3k = 18
\]

\[
k = 6
\]

### Langkah 4: Menentukan Koefisien untuk \( k = 6 \)

Untuk \( k = 6 \), kita substitusi ke dalam ekspresi koefisien:

\[
T_6 = \binom{14}{6} 2^{14 - 3(6)} x^4
\]

\[
T_6 = \binom{14}{6} 2^{14 - 18} x^4
\]

\[
T_6 = \binom{14}{6} 2^{-4} x^4
\]

Koefisien numeriknya adalah:

\[
T_6 = \binom{14}{6} \cdot \frac{1}{16}
\]

Sekarang, kita hitung nilai \( \binom{14}{6} \):

\[
\binom{14}{6} = \frac{14!}{6!(14-6)!} = \frac{14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 3003
\]

Jadi, koefisien dari suku \( x^4 \) adalah:

\[
T_6 = 3003 \times \frac{1}{16} = \frac{3003}{16}
\]

### Kesimpulan

Koefisien dari suku yang mengandung \( x^4 \) dalam campuran tersebut adalah \( \frac{3003}{16} \).

Apakah Anda memerlukan penjelasan lebih lanjut atau detail tambahan?

Berikut 5 pertanyaan terkait yang dapat membantu memperdalam pemahaman Anda:

1. Bagaimana koefisien akan berubah jika Tina mencampur larutan 20 kali?
2. Apa yang terjadi jika konsentrasi Larutan A berubah menjadi \( \frac{3}{x} \)?
3. Bagaimana jika Tina membutuhkan suku dengan pangkat \( x^6 \) dalam campuran?
4. Bagaimana metode binomial dapat diterapkan pada kasus campuran lebih dari dua larutan?
5. Bagaimana cara menghitung koefisien jika pangkat \( x \) adalah pecahan, seperti \( x^{3/2} \)?

**Tip**: Saat menggunakan teorema binomial, perhatikan baik-baik bagaimana pangkat dari masing-masing suku mempengaruhi hasil ekspansi untuk menemukan suku tertentu.

Tina adalah seorang ahli kimia yang sedang bekerja di laboratorium untuk membuat larutan kimia khusus. Dia memiliki dua jenis larutan kimia, Larutan A dan Larutan B, yang harus dicampur dengan proporsi tertentu. Larutan A memiliki konsentrasi 2/x dan Larutan B memiliki konsentrasi x^2/4. Tina harus mencampur kedua larutan tersebut sebanyak 14 kali secara berurutan dan ingin mengetahui koefisien dari suku yang mengandung x^4 dalam campuran tersebut. Bisakah kamu membantu Tina menemukan koefisien ini?

Temukan koefisien suku x^4 dalam campuran larutan kimia menggunakan ekspansi binomial. Melibatkan konsentrasi larutan A dan B dengan rumus 2/x dan x^2/4, dicampur sebanyak 14 kali. Pelajari cara menggunakan teorema binomial untuk menyelesaikan masalah ini. Cocok untuk siswa tingkat SMA.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation