Untuk menemukan koefisien dari suku yang mengandung $x^4$ dalam campuran larutan tersebut, kita perlu memahami bahwa campuran ini melibatkan dua larutan, A dan B, dengan konsentrasi yang diberikan sebagai fungsi dari $x$:

• Larutan A: $\frac{2}{x}$
• Larutan B: $\frac{x^2}{4}$

Karena Tina mencampur kedua larutan tersebut sebanyak 14 kali secara berurutan, ini dapat ditafsirkan sebagai sebuah binomial expansion, di mana kita mencari suku yang mengandung $x^4$ dalam ekspansi campuran ini.

Langkah 1: Menuliskan Campuran sebagai Binomial

Secara umum, campuran kedua larutan ini dapat dianggap sebagai bentuk binomial $(a + b)^n$ dengan:

• $a = \frac{2}{x}$ (larutan A)
• $b = \frac{x^2}{4}$ (larutan B)
• $n = 14$ (campuran dilakukan sebanyak 14 kali)

Maka, kita mengekspansi bentuk binomial berikut: $\left( \frac{2}{x} + \frac{x^2}{4} \right)^{14}$

Langkah 2: Menggunakan Teorema Binomial

Dalam ekspansi binomial, suku umum dalam bentuk $(a + b)^n$ diberikan oleh:

$T_k = \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

Untuk $n = 14$, suku ke-$k$ adalah: $T_k = \binom{14}{k} \left( \frac{2}{x} \right)^{14-k} \left( \frac{x^2}{4} \right)^k$

Sederhanakan suku ini: $T_k = \binom{14}{k} \frac{2^{14-k}}{x^{14-k}} \cdot \frac{x^{2k}}{4^k}$

$T_k = \binom{14}{k} \frac{2^{14-k} x^{2k}}{x^{14-k} 4^k}$

$T_k = \binom{14}{k} \frac{2^{14-k}}{4^k} \cdot x^{2k - (14-k)}$

$T_k = \binom{14}{k} \frac{2^{14-k}}{(2^2)^k} \cdot x^{2k - 14 + k}$

$T_k = \binom{14}{k} \frac{2^{14-k}}{2^{2k}} \cdot x^{3k - 14}$

$T_k = \binom{14}{k} 2^{14 - 3k} x^{3k - 14}$

Langkah 3: Mencari Suku dengan Pangkat $x^4$

Untuk menemukan suku yang mengandung $x^4$, kita harus memecahkan persamaan berikut untuk $k$:

$3k - 14 = 4$

$3k = 18$

$k = 6$

Langkah 4: Menentukan Koefisien untuk $k = 6$

Untuk $k = 6$, kita substitusi ke dalam ekspresi koefisien:

$T_6 = \binom{14}{6} 2^{14 - 3(6)} x^4$

$T_6 = \binom{14}{6} 2^{14 - 18} x^4$

$T_6 = \binom{14}{6} 2^{-4} x^4$

Koefisien numeriknya adalah:

$T_6 = \binom{14}{6} \cdot \frac{1}{16}$

Sekarang, kita hitung nilai $\binom{14}{6}$:

$\binom{14}{6} = \frac{14!}{6!(14-6)!} = \frac{14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 3003$

Jadi, koefisien dari suku $x^4$ adalah:

$T_6 = 3003 \times \frac{1}{16} = \frac{3003}{16}$

Kesimpulan

Koefisien dari suku yang mengandung $x^4$ dalam campuran tersebut adalah $\frac{3003}{16}$.

Apakah Anda memerlukan penjelasan lebih lanjut atau detail tambahan?

Berikut 5 pertanyaan terkait yang dapat membantu memperdalam pemahaman Anda:

1. Bagaimana koefisien akan berubah jika Tina mencampur larutan 20 kali?
2. Apa yang terjadi jika konsentrasi Larutan A berubah menjadi $\frac{3}{x}$?
3. Bagaimana jika Tina membutuhkan suku dengan pangkat $x^6$ dalam campuran?
4. Bagaimana metode binomial dapat diterapkan pada kasus campuran lebih dari dua larutan?
5. Bagaimana cara menghitung koefisien jika pangkat $x$ adalah pecahan, seperti $x^{3/2}$?

Tip: Saat menggunakan teorema binomial, perhatikan baik-baik bagaimana pangkat dari masing-masing suku mempengaruhi hasil ekspansi untuk menemukan suku tertentu.