Tina adalah seorang ahli kimia yang sedang bekerja di laboratorium untuk membuat larutan kimia khusus. Dia memiliki dua jenis larutan kimia, yaitu larutan A dan larutan B, yang harus dicampur dengan propori tertentu. Larutan A memiliki konsentrasi 2/x dan Larutan B memiliki konsentrasi x^2/4. Tina harus mencampur kedua larutan tersebut sebanyak 14 kali secara berurutan dan ingin mengetahui koefisien dari suku yang mengandung x^4 dalam campuran tersebut. Bisakah kamu membantu Tina menemukan koefisien ini?

Tentu! Untuk membantu Tina menemukan koefisien dari suku yang mengandung \(x^4\) dalam campuran larutan A dan B, mari kita uraikan langkah-langkah perhitungannya.

### Diberikan:
- Konsentrasi Larutan A adalah \(\frac{2}{x}\).
- Konsentrasi Larutan B adalah \(\frac{x^2}{4}\).

Tina mencampur kedua larutan ini sebanyak 14 kali. Jadi, kita ingin melihat ekspresi yang dibentuk oleh penjumlahan campuran ini.

Kita anggap campuran ini berbentuk:
\[
\left( \frac{2}{x} + \frac{x^2}{4} \right)^{14}
\]
Sekarang, kita mencari suku yang mengandung \(x^4\) dari hasil perluasan binomial dari ekspresi ini.

### Langkah-langkah:

1. **Penerapan Binomial:**
   Ekspansi binomial dari \(\left( \frac{2}{x} + \frac{x^2}{4} \right)^{14}\) adalah:
   \[
   \sum_{k=0}^{14} \binom{14}{k} \left(\frac{2}{x}\right)^k \left(\frac{x^2}{4}\right)^{14-k}
   \]

2. **Cari suku yang mengandung \(x^4\):**
   Setiap suku pada ekspansi binomial akan berbentuk:
   \[
   \binom{14}{k} \left(\frac{2}{x}\right)^k \left(\frac{x^2}{4}\right)^{14-k}
   \]
   Suku ini mengandung \(x\) dengan pangkat:
   \[
   \left( \frac{2}{x} \right)^k = \frac{2^k}{x^k} \quad \text{dan} \quad \left( \frac{x^2}{4} \right)^{14-k} = \frac{x^{2(14-k)}}{4^{14-k}} = \frac{x^{28-2k}}{4^{14-k}}
   \]
   Jadi, pangkat total dari \(x\) dalam suku ini adalah:
   \[
   (-k) + (28 - 2k) = 28 - 3k
   \]
   Kita mencari suku di mana pangkat \(x\) adalah 4, yaitu:
   \[
   28 - 3k = 4
   \]
   Menyelesaikan untuk \(k\):
   \[
   28 - 4 = 3k \quad \Rightarrow \quad k = 8
   \]

3. **Hitung koefisien untuk \(k = 8\):**
   Untuk \(k = 8\), koefisiennya adalah:
   \[
   \binom{14}{8} \left( \frac{2}{x} \right)^8 \left( \frac{x^2}{4} \right)^6
   \]
   Sekarang, kita hitung koefisien konstanta ini:
   \[
   \binom{14}{8} \cdot \frac{2^8}{x^8} \cdot \frac{x^{12}}{4^6}
   \]
   Koefisien konstanta tanpa \(x\) adalah:
   \[
   \binom{14}{8} \cdot \frac{2^8}{4^6} = \binom{14}{8} \cdot \frac{256}{4096}
   \]
   Karena \(\frac{256}{4096} = \frac{1}{16}\), maka koefisien akhirnya adalah:
   \[
   \binom{14}{8} \cdot \frac{1}{16}
   \]

4. **Nilai \(\binom{14}{8}\):**
   Nilai \(\binom{14}{8}\) adalah 3003, sehingga:
   \[
   3003 \cdot \frac{1}{16} = \frac{3003}{16}
   \]
   Jadi, koefisien dari suku yang mengandung \(x^4\) adalah \(\frac{3003}{16}\).

### Jawaban:
Koefisien dari suku yang mengandung \(x^4\) dalam campuran tersebut adalah \(\frac{3003}{16}\).

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau memiliki pertanyaan? Berikut adalah beberapa pertanyaan terkait:

1. Bagaimana ekspansi binomial bekerja dalam kasus yang lebih umum?
2. Apa yang terjadi jika jumlah campuran diubah dari 14 menjadi angka lain?
3. Bagaimana cara menghitung kombinasi seperti \(\binom{14}{8}\)?
4. Bagaimana konsep suku-suku dalam ekspansi binomial berlaku pada soal kimia lainnya?
5. Apa perbedaan pengaruh jika konsentrasi larutan A dan B diubah?

**Tip:** Saat bekerja dengan ekspansi binomial, penting untuk selalu memperhatikan pangkat dari variabel yang ditargetkan dalam soal.

Discover how to calculate the coefficient of the x^4 term in the mixture of two chemical solutions using binomial expansion. This problem involves advanced algebra and is perfect for high school students in Grades 11-12. Learn how to apply the binomial theorem to find the solution step-by-step.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation