Diketahui sebuah kubus PQRSTUVW mempunyai panjang rusuk 8 cm. Tentukan jarak antara titik R ke garis PV

Diketahui bahwa \( PQRSTUVW \) adalah sebuah kubus dengan panjang rusuk \( 8 \) cm. Kita diminta untuk menentukan jarak antara titik \( R \) ke garis \( PV \).

1. **Gambaran posisi titik dan garis**:
   - Titik \( R \) adalah sudut pada kubus, yang berada di belakang bagian atas.
   - Garis \( PV \) adalah diagonal dari bidang bawah kubus (dalam hal ini, segiempat \( PQVU \)).

Mari kita tetapkan koordinat titik-titik pada kubus tersebut. Anggap \( P \) berada di titik asal koordinat \( (0, 0, 0) \), maka:
- \( P(0, 0, 0) \)
- \( Q(8, 0, 0) \)
- \( R(8, 8, 8) \) (karena \( R \) berada di seberang dari \( P \))
- \( V(0, 8, 0) \)

Sekarang, kita mencari jarak dari titik \( R(8, 8, 8) \) ke garis \( PV \). 

2. **Persamaan vektor dari garis \( PV \)**:
   Garis \( PV \) dapat dinyatakan dalam bentuk vektor. Vektor \( \mathbf{PV} \) adalah:
   \[
   \mathbf{PV} = V - P = (0, 8, 0) - (0, 0, 0) = (0, 8, 0)
   \]
   Persamaan parametris garis \( PV \) adalah:
   \[
   \mathbf{r}(t) = (0, 0, 0) + t(0, 8, 0) = (0, 8t, 0)
   \]
   di mana \( t \) adalah parameter.

3. **Rumus jarak titik ke garis dalam ruang**:
   Rumus untuk jarak antara sebuah titik \( R(x_1, y_1, z_1) \) ke garis \( \mathbf{r}(t) \) yang melalui titik \( P \) dengan vektor arah \( \mathbf{d} \) adalah:
   \[
   d = \frac{| \mathbf{PR} \times \mathbf{d} |}{|\mathbf{d}|}
   \]
   Di mana \( \mathbf{PR} \) adalah vektor dari \( P \) ke \( R \), dan \( \mathbf{d} \) adalah vektor arah garis.

   - Vektor \( \mathbf{PR} = R - P = (8, 8, 8) - (0, 0, 0) = (8, 8, 8) \).
   - Vektor arah \( \mathbf{d} = (0, 8, 0) \).

4. **Hitung vektor cross product**:
   \[
   \mathbf{PR} \times \mathbf{d} = 
   \begin{vmatrix}
   \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
   8 & 8 & 8 \\
   0 & 8 & 0
   \end{vmatrix}
   = \mathbf{i}(8 \times 0 - 8 \times 0) - \mathbf{j}(8 \times 0 - 8 \times 0) + \mathbf{k}(8 \times 8 - 8 \times 0)
   = \mathbf{k}(64)
   = (0, 0, 64)
   \]

5. **Hitung besar cross product dan panjang vektor arah**:
   - Besar dari vektor \( \mathbf{PR} \times \mathbf{d} \) adalah \( |(0, 0, 64)| = 64 \).
   - Panjang vektor arah \( \mathbf{d} \) adalah \( |(0, 8, 0)| = 8 \).

6. **Hitung jarak**:
   \[
   d = \frac{64}{8} = 8 \, \text{cm}
   \]

Jadi, jarak antara titik \( R \) ke garis \( PV \) adalah **8 cm**.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan? 

Berikut 5 soal terkait:
1. Berapakah jarak antara titik \( P \) ke garis \( RV \)?
2. Hitung jarak antara titik \( Q \) ke garis \( PV \)!
3. Tentukan luas permukaan kubus \( PQRSTUVW \)!
4. Berapakah panjang diagonal ruang kubus \( PQRSTUVW \)?
5. Hitung volume kubus \( PQRSTUVW \)!

**Tip**: Saat menghitung jarak antara titik ke garis, menggunakan rumus jarak dengan cross product membantu menyederhanakan proses perhitungan.

Pelajari cara menghitung jarak antara titik R ke garis PV pada kubus PQRSTUVW dengan panjang rusuk 8 cm. Soal ini mencakup konsep geometri vektor, rumus jarak antara titik ke garis, dan cross product. Cocok untuk siswa kelas 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation