Diketahui kubus $ABCD \, EFGH$ dengan panjang rusuk $8\sqrt{3}$ cm. Kita diminta untuk menghitung jarak antara bidang $ACH$ dan $EGB$.

Langkah-langkah:

1. Menentukan Koordinat Titik-titik pada Kubus Misalkan titik $A(0, 0, 0)$, maka:

   • $B(8\sqrt{3}, 0, 0)$
   • $C(8\sqrt{3}, 8\sqrt{3}, 0)$
   • $D(0, 8\sqrt{3}, 0)$
   • $E(0, 0, 8\sqrt{3})$
   • $F(8\sqrt{3}, 0, 8\sqrt{3})$
   • $G(8\sqrt{3}, 8\sqrt{3}, 8\sqrt{3})$
   • $H(0, 8\sqrt{3}, 8\sqrt{3})$

2. Persamaan Bidang $ACH$ Titik $A$, $C$, dan $H$ terletak pada bidang $ACH$. Untuk menemukan persamaan bidang, kita cari vektor-vektor yang membentuk bidang tersebut:

   • $\overrightarrow{AC} = (8\sqrt{3}, 8\sqrt{3}, 0)$
   • $\overrightarrow{AH} = (0, 8\sqrt{3}, 8\sqrt{3})$

   Dengan menggunakan perkalian silang $\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AH}$, kita dapat menemukan vektor normal bidang $ACH$.

   \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 8\sqrt{3} & 8\sqrt{3} & 0 \\ 0 & 8\sqrt{3} & 8\sqrt{3} \end{vmatrix} = (64\sqrt{3}, -64\sqrt{3}, 64\sqrt{3})$$ Maka, persamaan bidang $$ACH$$ adalah: $$64\sqrt{3}x - 64\sqrt{3}y + 64\sqrt{3}z = 0$$ atau disederhanakan menjadi: $$x - y + z = 0$$

3. Persamaan Bidang $EGB$ Titik $E$, $G$, dan $B$ terletak pada bidang $EGB$. Untuk mencari persamaan bidang, kita cari vektor-vektor:

   • $\overrightarrow{EB} = (8\sqrt{3}, 0, -8\sqrt{3})$
   • $\overrightarrow{EG} = (8\sqrt{3}, 8\sqrt{3}, 0)$

   Menghitung perkalian silang $\overrightarrow{EB} \times \overrightarrow{EG}$:

   \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 8\sqrt{3} & 0 & -8\sqrt{3} \\ 8\sqrt{3} & 8\sqrt{3} & 0 \end{vmatrix} = (64\sqrt{3}, 64\sqrt{3}, 64\sqrt{3})$$ Persamaan bidang $$EGB$$ adalah: $$64\sqrt{3}x + 64\sqrt{3}y + 64\sqrt{3}z = 64\sqrt{3} \cdot 8\sqrt{3}$$ Disederhanakan: $$x + y + z = 24$$

4. Jarak Antar Bidang Sekarang kita hitung jarak antara dua bidang $x - y + z = 0$ dan $x + y + z = 24$. Untuk menghitung jarak antar bidang yang sejajar (karena vektor normalnya searah), kita gunakan rumus: $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ Dari kedua bidang:

   • $c_1 = 0$ (untuk bidang $ACH$)
   • $c_2 = 24$ (untuk bidang $EGB$)

   Jadi jaraknya: $d = \frac{|24 - 0|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{24}{\sqrt{3}} = 8\sqrt{3} \, \text{cm}$

Jadi, jarak antara bidang $ACH$ dan $EGB$ adalah $8\sqrt{3} \, \text{cm}$.

Apakah Anda ingin detail lebih lanjut atau memiliki pertanyaan?

---

Soal terkait:

1. Bagaimana menentukan persamaan bidang dari tiga titik dalam ruang?
2. Apa itu perkalian silang vektor dan bagaimana penggunaannya?
3. Bagaimana menghitung jarak titik ke bidang?
4. Bagaimana menghitung jarak antara dua garis yang sejajar?
5. Apa syarat dua bidang dikatakan sejajar dalam ruang?

Tip: Pastikan memahami konsep perkalian silang vektor untuk mempermudah penyelesaian soal-soal geometri dalam ruang tiga dimensi.