On considère la fonction $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ telle que, pour tout $x, y \in \mathbb{R}$,

$|f(x) - f(y)| = |x - y|.$

Objectif

Montrer qu'il existe un réel $a \in \mathbb{R}$ tel que :

$f(x) = x + a \quad \text{ou} \quad f(x) = -x + a \quad \text{pour tout} \quad x \in \mathbb{R}.$

Étapes de la démonstration

1. Utilisation de l'hypothèse principale

L'égalité $|f(x) - f(y)| = |x - y|$ signifie que la fonction $f$ préserve la distance entre deux points. En d'autres termes, $f$ est une isométrie de $\mathbb{R}$.

On sait que les isométries de $\mathbb{R}$ sont des fonctions affines sous la forme $f(x) = x + a$ ou $f(x) = -x + a$, où $a \in \mathbb{R}$. Nous allons vérifier que cela correspond bien à ce cas.

2. Preuve par analyse des isométries

Les isométries de $\mathbb{R}$ conservent les distances. Or, il est bien connu que toutes les isométries de $\mathbb{R}$ sont de la forme :

• soit une translation : $f(x) = x + a$,
• soit une réflexion suivie d'une translation : $f(x) = -x + a$.

Nous allons montrer que cette propriété découle directement de l'égalité donnée.

3. Preuve par vérification des deux cas

Il suffit de montrer qu'une fonction qui satisfait $|f(x) - f(y)| = |x - y|$ doit être l'une des deux formes.

• Cas 1 : Si $f(0) = 0$, alors, pour $y = 0$, on a : $|f(x) - f(0)| = |x - 0| \quad \text{donc} \quad |f(x)| = |x|.$ Ainsi, $f(x) = x$ ou $f(x) = -x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

• Cas 2 : Si $f(0) = a \neq 0$, alors $f(x) = x + a$ ou $f(x) = -x + a$, car la seule autre possibilité est une isométrie affine.

Cela montre qu'il existe $a \in \mathbb{R}$ tel que $f(x) = x + a$ ou $f(x) = -x + a$.

Conclusion

On a prouvé que la fonction $f$, en satisfaisant $|f(x) - f(y)| = |x - y|$, est nécessairement de la forme :

$f(x) = x + a \quad \text{ou} \quad f(x) = -x + a,$

où $a \in \mathbb{R}$.

Questions connexes :

1. Comment démontrer que toute isométrie sur $\mathbb{R}$ est affine ?
2. Quelle est la différence entre une isométrie linéaire et une isométrie affine ?
3. Quelle est l'influence de la valeur de $a$ dans l'expression de la fonction $f$ ?
4. Peut-on généraliser ce résultat à des espaces de dimension supérieure ?
5. Quelles autres propriétés des isométries de $\mathbb{R}$ pouvons-nous exploiter ?

Tip

Il est souvent utile d'étudier les isométries dans des espaces simples comme $\mathbb{R}$, car elles servent de base pour comprendre les transformations dans des espaces plus complexes.