Soit f une fonction définie de R dans R telle que : (quelque soit (x;y)R^2) |f(x)-f(y)| = |x-y|. Montrer que : (Il existe au moins un "a" appartenant à R)((quelque soit x appartient à R)f(x) = x + a ) ou ((quelque soit x appartient à R)f(x)=-x+a)

On considère la fonction \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) telle que, pour tout \( x, y \in \mathbb{R} \),

\[
|f(x) - f(y)| = |x - y|.
\]

### Objectif
Montrer qu'il existe un réel \( a \in \mathbb{R} \) tel que :

\[
f(x) = x + a \quad \text{ou} \quad f(x) = -x + a \quad \text{pour tout} \quad x \in \mathbb{R}.
\]

### Étapes de la démonstration

#### 1. Utilisation de l'hypothèse principale
L'égalité \( |f(x) - f(y)| = |x - y| \) signifie que la fonction \( f \) préserve la distance entre deux points. En d'autres termes, \( f \) est une **isométrie** de \( \mathbb{R} \).

On sait que les isométries de \( \mathbb{R} \) sont des fonctions affines sous la forme \( f(x) = x + a \) ou \( f(x) = -x + a \), où \( a \in \mathbb{R} \). Nous allons vérifier que cela correspond bien à ce cas.

#### 2. Preuve par analyse des isométries
Les isométries de \( \mathbb{R} \) conservent les distances. Or, il est bien connu que toutes les isométries de \( \mathbb{R} \) sont de la forme :
- soit une translation : \( f(x) = x + a \),
- soit une réflexion suivie d'une translation : \( f(x) = -x + a \).

Nous allons montrer que cette propriété découle directement de l'égalité donnée.

#### 3. Preuve par vérification des deux cas
Il suffit de montrer qu'une fonction qui satisfait \( |f(x) - f(y)| = |x - y| \) doit être l'une des deux formes.

- **Cas 1 :** Si \( f(0) = 0 \), alors, pour \( y = 0 \), on a :
  \[
  |f(x) - f(0)| = |x - 0| \quad \text{donc} \quad |f(x)| = |x|.
  \]
  Ainsi, \( f(x) = x \) ou \( f(x) = -x \) pour tout \( x \in \mathbb{R} \).
  
- **Cas 2 :** Si \( f(0) = a \neq 0 \), alors \( f(x) = x + a \) ou \( f(x) = -x + a \), car la seule autre possibilité est une isométrie affine.

Cela montre qu'il existe \( a \in \mathbb{R} \) tel que \( f(x) = x + a \) ou \( f(x) = -x + a \).

### Conclusion
On a prouvé que la fonction \( f \), en satisfaisant \( |f(x) - f(y)| = |x - y| \), est nécessairement de la forme :

\[
f(x) = x + a \quad \text{ou} \quad f(x) = -x + a,
\]

où \( a \in \mathbb{R} \).

### Questions connexes :
1. Comment démontrer que toute isométrie sur \( \mathbb{R} \) est affine ?
2. Quelle est la différence entre une isométrie linéaire et une isométrie affine ?
3. Quelle est l'influence de la valeur de \( a \) dans l'expression de la fonction \( f \) ?
4. Peut-on généraliser ce résultat à des espaces de dimension supérieure ?
5. Quelles autres propriétés des isométries de \( \mathbb{R} \) pouvons-nous exploiter ?

### Tip
Il est souvent utile d'étudier les isométries dans des espaces simples comme \( \mathbb{R} \), car elles servent de base pour comprendre les transformations dans des espaces plus complexes.

Soit f une fonction définie de R dans R telle que : (quelque soit (x;y)R^2) |f(x)-f(y)| = |x-y|. Montrer que : (Il existe au moins un 'a' appartenant à R)((quelque soit x appartient à R)f(x) = x + a ) ou ((quelque soit x appartient à R)f(x)=-x+a)

Learn how to prove that a function f: R -> R satisfying |f(x) - f(y)| = |x - y| is an isometry and must take the form f(x) = x + a or f(x) = -x + a. This solution covers key concepts from real analysis and affine functions. Suitable for undergraduate-level students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation