Để tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn:

a) $f(x+y) = f(x) + f(y)$ với mọi $x, y \in \mathbb{R}$.

b) $f(x) \geq 0$ với mọi $x > 0$.

Bước 1: Phân tích điều kiện a)

Điều kiện $f(x+y) = f(x) + f(y)$ là phương trình hàm Cauchy nổi tiếng. Các nghiệm thông thường của phương trình này là:

1. $f(x) = cx$, với $c$ là một hằng số bất kỳ.
2. Các nghiệm khác có thể là các hàm số không liên tục, nhưng thường được loại trừ trong các bài toán toán học cơ bản do không có tính chất thực tế hoặc không khả thi trong điều kiện bình thường.

Bước 2: Phân tích điều kiện b)

Điều kiện $f(x) \geq 0$ với mọi $x > 0$ cần được thỏa mãn.

• Với $f(x) = cx$, ta có $f(x) = cx \geq 0$ với mọi $x > 0$.

Điều này có nghĩa là $c \geq 0$.

Kết luận:

Do đó, các hàm số $f(x) = cx$ với $c \geq 0$ là các hàm số thỏa mãn cả hai điều kiện a) và b).

Kết quả:

Tất cả các hàm số thỏa mãn yêu cầu là $f(x) = cx$ với $c \geq 0$.

---

Bạn có muốn biết thêm chi tiết về cách chứng minh không? Hoặc có thắc mắc nào khác?

Dưới đây là 5 câu hỏi mở rộng:

1. Làm thế nào để chứng minh chi tiết rằng $f(x) = cx$ là nghiệm duy nhất liên tục của phương trình hàm Cauchy?
2. Điều gì sẽ xảy ra nếu bỏ qua điều kiện $f(x) \geq 0$ với mọi $x > 0$?
3. Các hàm số không liên tục thỏa mãn phương trình hàm Cauchy có tính chất gì đặc biệt?
4. Cách giải phương trình hàm trong các trường hợp phức tạp hơn như hàm nhiều biến hoặc hàm không tuyến tính là gì?
5. Có những ứng dụng thực tế nào của phương trình hàm Cauchy trong toán học hoặc khoa học?

Mẹo: Khi đối mặt với các phương trình hàm, hãy kiểm tra các nghiệm cơ bản như hàm tuyến tính trước khi xem xét các trường hợp phức tạp hơn.