Math Problem Statement
Trouver toutes les fonctions f : R → R satisfaisant l’´equation fonctionnelle suivante pour tous x, y ∈ R : f(y − f(x)) = f(x) − 2x + f(f(y)).
Solution
Nous devons résoudre l'équation fonctionnelle suivante pour toutes :
Étape 1 : Compréhension de l'équation fonctionnelle
L'idée est de manipuler l'équation en substituant certaines valeurs de et pour simplifier l'expression et identifier des informations sur la fonction .
Substitution de :
En posant dans l'équation originale, on obtient : Cela devient : Soit cette équation (1).
Substitution de :
En posant dans l'équation originale, on obtient : Cela devient : Soit cette équation (2).
Étape 2 : Étude de l'équation (1)
L'équation (1) nous donne : Pour simplifier cette équation, considérons des cas particuliers pour . Une hypothèse courante dans ce genre d'équations est que soit linéaire. Supposons donc que pour certains réels et .
Étape 3 : Vérification avec
Substituons dans l'équation originale : Cela donne : Simplifions : Il semble y avoir une complexité croissante si n'est pas simplifiable à ce stade. Nous devons donc peut-être réévaluer cette hypothèse et explorer d'autres solutions.
Conclusion
L'équation fonctionnelle peut avoir des solutions plus simples, comme des fonctions constantes ou linéaires. Une fonction candidate est , qui satisfait l'équation originale. Essayons dans l'équation :
devient ce qui donne qui est vrai. Ainsi, est une solution de l'équation fonctionnelle.
Conclusion finale :
La fonction est une solution de l'équation fonctionnelle donnée.
Voulez-vous plus de détails ou avez-vous des questions ?
Questions relatives :
- Quelles autres hypothèses de fonctions aurions-nous pu tester pour résoudre l'équation ?
- Existe-t-il d'autres solutions possibles à l'équation fonctionnelle que ?
- Comment prouver qu'il n'y a pas d'autres solutions non linéaires à cette équation ?
- Quelles techniques générales peuvent être utilisées pour résoudre des équations fonctionnelles ?
- Comment la linéarité aide-t-elle à simplifier la recherche de solutions pour les équations fonctionnelles ?
Astuce :
Lorsque vous traitez des équations fonctionnelles, essayez toujours des substitutions simples comme (
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Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Functional Equations
Substitution
Linear Functions
Formulas
f(y − f(x)) = f(x) − 2x + f(f(y))
f(x) = ax + b
Theorems
Linearity Hypothesis
Functional Equation Solutions
Suitable Grade Level
University Level
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