Diberikan fungsi $f(x) = 2x + 4$ dan $g(x) = \frac{2x + 5}{x - 4}$, diminta untuk mencari $(g \circ f)^{-1}(2)$, yaitu invers dari komposisi fungsi $g(f(x))$ di titik 2.

Langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut:

1. Menyusun komposisi fungsi $g(f(x))$

Kita mulai dengan menghitung komposisi fungsi $g(f(x))$.

$f(x) = 2x + 4$ Substitusikan $f(x)$ ke dalam $g(x)$:

$g(f(x)) = g(2x + 4) = \frac{2(2x + 4) + 5}{(2x + 4) - 4}$

Sederhanakan:

$g(f(x)) = \frac{4x + 8 + 5}{2x + 4 - 4} = \frac{4x + 13}{2x}$

Jadi, $g(f(x)) = \frac{4x + 13}{2x}$.

2. Mencari invers dari $g(f(x))$

Untuk menemukan invers dari $g(f(x))$, misalkan $y = g(f(x)) = \frac{4x + 13}{2x}$, kita perlu mencari $x$ dalam fungsi tersebut.

Mulai dengan mengalikan kedua sisi dengan $2x$:

$y \cdot 2x = 4x + 13$

Kemudian, selesaikan untuk $x$:

$2xy = 4x + 13$ $2xy - 4x = 13$ $x(2y - 4) = 13$ $x = \frac{13}{2y - 4}$

Jadi, invers dari fungsi komposisi $g(f(x))$ adalah:

$(g \circ f)^{-1}(y) = \frac{13}{2y - 4}$

3. Substitusi $y = 2$ ke dalam invers

Sekarang substitusikan $y = 2$ ke dalam $(g \circ f)^{-1}(y)$:

$(g \circ f)^{-1}(2) = \frac{13}{2(2) - 4} = \frac{13}{4 - 4} = \text{undefined}$

Kesimpulannya, $(g \circ f)^{-1}(2)$ tidak terdefinisi karena penyebutnya adalah nol.

Apakah ada hal yang ingin ditanyakan atau dijelaskan lebih lanjut?

Berikut 5 pertanyaan terkait yang bisa membantu memperluas pemahaman:

1. Bagaimana cara menemukan komposisi fungsi lain seperti $h(f(x))$?
2. Mengapa fungsi invers dari suatu fungsi mungkin tidak terdefinisi?
3. Bagaimana cara menentukan syarat suatu fungsi memiliki invers?
4. Apa langkah-langkah umum untuk mencari invers dari fungsi pecahan?
5. Bagaimana pengaruh penyebut bernilai nol terhadap definisi fungsi?

Tip: Selalu perhatikan penyebut dalam fungsi pecahan, karena penyebut nol dapat menyebabkan fungsi menjadi tidak terdefinisi.