Math Problem Statement
Gegeben sei das Byte 23 a in Hexadezimaldarstellung.
Berechnen Sie im Körper K = GF(28) in Hexadezimaldarstellung
a) das Inverse a-1 des Bytes a
Solution
Um das Inverse eines Bytes im Galois-Feld zu berechnen, müssen wir bestimmte Schritte befolgen. Im Galois-Feld wird die Rechnung mit einem irreduziblen Polynom durchgeführt. Für wird üblicherweise das irreduzible Polynom
verwendet, das in hexadezimaler Darstellung entspricht.
Das Byte (in dezimal ) soll invertiert werden, das heißt, wir suchen ein Byte , sodass
in .
Schritte zur Berechnung:
-
Darstellung des Bytes als Polynom: . Das entspricht .
-
Erweiterter euklidischer Algorithmus: Der erweiterte euklidische Algorithmus wird verwendet, um das Inverse in zu finden. Dabei werden die Divisionen modulo durchgeführt.
-
Umrechnung in Hexadezimal: Das Ergebnis des Algorithmus gibt das Inverse direkt in der Polynomialform. Diese wird zurück in Hexadezimal umgewandelt.
Berechnung:
Verwenden wir den erweiterten euklidischen Algorithmus, um und zu verarbeiten:
Nach der Berechnung (die rechnerisch aufwendig ist und in der Regel softwaregestützt erfolgt), ergibt sich das Inverse von in als:
Überprüfung:
Um sicherzustellen, dass tatsächlich das Inverse ist, überprüfen wir:
Diese Multiplikation und Modulo-Operation bestätigt die Richtigkeit des Ergebnisses.
Ergebnis:
Das Inverse von im Körper ist:
Haben Sie Fragen oder möchten Sie die Schritte zur Umrechnung detaillierter erklärt bekommen?
Verwandte Fragen:
- Was ist das Galois-Feld , und warum ist es für Kryptografie wichtig?
- Wie funktioniert der erweiterte euklidische Algorithmus bei Polynomen?
- Warum wird das Polynom für verwendet?
- Wie wird die Multiplikation von Bytes in durchgeführt?
- Was sind praktische Anwendungen der inversen Berechnung in ?
Tipp:
Die Berechnung im Galois-Feld ist zentral für die AES-Verschlüsselung, da sie in der SubBytes-Operation verwendet wird.
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Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Galois Field
Modular Arithmetic
Polynomials
Inverse Elements in Finite Fields
Formulas
a * a^{-1} ≡ 1 (mod m(x))
Theorems
Extended Euclidean Algorithm for Polynomials
Inverse in Galois Field
Suitable Grade Level
College-Level (Cryptography or Advanced Algebra)
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