Temukan hasil aritmatika berikut ini pada GF(521).

(a) 500+69

(b) 73-89 (Catatan: -a adalah invers penjumlahan a)

(c) 74 * 453

(d) 51/293 (Catatan: 1/a adalah invers perkalian a)

Di lapangan hingga \( GF(p) \), operasi aritmetika dilakukan secara modulo \( p \). Di sini, \( p = 521 \), jadi semua operasi akan dilakukan modulo 521. Mari kita hitung satu per satu:

### (a) \( 500 + 69 \) dalam \( GF(521) \)

\[
500 + 69 = 569
\]
Karena 569 melebihi 521, kita lakukan operasi modulo 521:
\[
569 \mod 521 = 569 - 521 = 48
\]

Jadi, \( 500 + 69 = 48 \) dalam \( GF(521) \).

### (b) \( 73 - 89 \) dalam \( GF(521) \)

Untuk pengurangan, kita bisa menambahkan invers dari 89. Dalam \( GF(521) \), invers penjumlahan dari \( a \) adalah \( -a \mod 521 \). Jadi kita hitung:
\[
73 - 89 = 73 + (-89) \mod 521
\]
Invers dari 89 adalah \( 521 - 89 = 432 \), sehingga:
\[
73 - 89 = 73 + 432 = 505
\]
Tidak perlu operasi modulo karena hasilnya sudah di bawah 521.

Jadi, \( 73 - 89 = 505 \) dalam \( GF(521) \).

### (c) \( 74 \times 453 \) dalam \( GF(521) \)

\[
74 \times 453 = 33522
\]
Sekarang kita lakukan operasi modulo 521:
\[
33522 \mod 521 = 33522 - 521 \times 64 = 33522 - 33344 = 178
\]

Jadi, \( 74 \times 453 = 178 \) dalam \( GF(521) \).

### (d) \( 51 / 293 \) dalam \( GF(521) \)

Untuk pembagian dalam \( GF(521) \), kita harus mencari invers perkalian dari 293, lalu mengalikannya dengan 51. Invers dari 293 adalah bilangan \( x \) sedemikian sehingga:
\[
293 \times x \equiv 1 \mod 521
\]
Kita dapat menggunakan algoritma Euclidean diperpanjang untuk menemukan invers dari 293 dalam \( GF(521) \).

Mari saya hitung.

Invers perkalian dari \( 293 \) dalam \( GF(521) \) adalah \( 505 \). Jadi, untuk \( 51 / 293 \), kita menghitung:

\[
51 \times 505 \mod 521 = 226
\]

Jadi, \( 51 / 293 = 226 \) dalam \( GF(521) \).

### Ringkasan hasil:
- (a) \( 500 + 69 = 48 \)
- (b) \( 73 - 89 = 505 \)
- (c) \( 74 \times 453 = 178 \)
- (d) \( 51 / 293 = 226 \)

Apakah Anda ingin penjelasan lebih rinci atau ada pertanyaan lain?

Berikut adalah beberapa pertanyaan terkait:
1. Bagaimana cara algoritma Euclidean digunakan untuk menemukan invers modulo?
2. Mengapa operasi aritmatika di lapangan hingga terbatas dilakukan dalam modulo \( p \)?
3. Apa perbedaan antara lapangan hingga \( GF(p) \) dan lapangan real?
4. Bagaimana cara memverifikasi hasil invers perkalian secara manual?
5. Bagaimana cara menentukan jika sebuah bilangan di lapangan hingga memiliki invers?

**Tip:** Dalam operasi aritmatika modulo, invers penjumlahan selalu \( p - a \) dan invers perkalian dapat dihitung menggunakan algoritma Euclidean diperpanjang.

Learn how to perform arithmetic operations like addition, subtraction, multiplication, and division in the finite field GF(521) with a detailed step-by-step solution. This covers modular arithmetic concepts, inverses in finite fields, and the extended Euclidean algorithm for division. Suitable for advanced high school or undergraduate students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation