Di lapangan hingga $GF(p)$, operasi aritmetika dilakukan secara modulo $p$. Di sini, $p = 521$, jadi semua operasi akan dilakukan modulo 521. Mari kita hitung satu per satu:

(a) $500 + 69$ dalam $GF(521)$

$500 + 69 = 569$ Karena 569 melebihi 521, kita lakukan operasi modulo 521: $569 \mod 521 = 569 - 521 = 48$

Jadi, $500 + 69 = 48$ dalam $GF(521)$.

(b) $73 - 89$ dalam $GF(521)$

Untuk pengurangan, kita bisa menambahkan invers dari 89. Dalam $GF(521)$, invers penjumlahan dari $a$ adalah $-a \mod 521$. Jadi kita hitung: $73 - 89 = 73 + (-89) \mod 521$ Invers dari 89 adalah $521 - 89 = 432$, sehingga: $73 - 89 = 73 + 432 = 505$ Tidak perlu operasi modulo karena hasilnya sudah di bawah 521.

Jadi, $73 - 89 = 505$ dalam $GF(521)$.

(c) $74 \times 453$ dalam $GF(521)$

$74 \times 453 = 33522$ Sekarang kita lakukan operasi modulo 521: $33522 \mod 521 = 33522 - 521 \times 64 = 33522 - 33344 = 178$

Jadi, $74 \times 453 = 178$ dalam $GF(521)$.

(d) $51 / 293$ dalam $GF(521)$

Untuk pembagian dalam $GF(521)$, kita harus mencari invers perkalian dari 293, lalu mengalikannya dengan 51. Invers dari 293 adalah bilangan $x$ sedemikian sehingga: $293 \times x \equiv 1 \mod 521$ Kita dapat menggunakan algoritma Euclidean diperpanjang untuk menemukan invers dari 293 dalam $GF(521)$.

Mari saya hitung.

Invers perkalian dari $293$ dalam $GF(521)$ adalah $505$. Jadi, untuk $51 / 293$, kita menghitung:

$51 \times 505 \mod 521 = 226$

Jadi, $51 / 293 = 226$ dalam $GF(521)$.

Ringkasan hasil:

• (a) $500 + 69 = 48$
• (b) $73 - 89 = 505$
• (c) $74 \times 453 = 178$
• (d) $51 / 293 = 226$

Apakah Anda ingin penjelasan lebih rinci atau ada pertanyaan lain?

Berikut adalah beberapa pertanyaan terkait:

1. Bagaimana cara algoritma Euclidean digunakan untuk menemukan invers modulo?
2. Mengapa operasi aritmatika di lapangan hingga terbatas dilakukan dalam modulo $p$?
3. Apa perbedaan antara lapangan hingga $GF(p)$ dan lapangan real?
4. Bagaimana cara memverifikasi hasil invers perkalian secara manual?
5. Bagaimana cara menentukan jika sebuah bilangan di lapangan hingga memiliki invers?

Tip: Dalam operasi aritmatika modulo, invers penjumlahan selalu $p - a$ dan invers perkalian dapat dihitung menggunakan algoritma Euclidean diperpanjang.