Temukan hasil aritmatika berikut ini pada GF(521).

(a) 500+69

(b) 73-89 (Catatan: -a adalah invers penjumlahan a)

(c) 74 * 453

(d) 51/293 (Catatan: 1/a adalah invers perkalian a)

Mari kita hitung hasil operasi aritmatika pada bidang hingga \( GF(521) \), atau **Galois Field** dengan modulus \( 521 \).

Dalam \( GF(521) \), semua perhitungan dilakukan dengan **modulus 521**.

### (a) \( 500 + 69 \) mod 521
\[
500 + 69 = 569
\]
Lakukan mod 521:
\[
569 \mod 521 = 569 - 521 = 48
\]
**Jadi, hasil dari (a) adalah 48.**

---

### (b) \( 73 - 89 \) mod 521

Untuk pengurangan, tambahkan invers penjumlahan dari 89. Invers dari 89 dalam penjumlahan adalah:
\[
-89 \mod 521 = 521 - 89 = 432
\]
Sekarang, hitung \( 73 + 432 \) mod 521:
\[
73 + 432 = 505
\]
Lakukan mod 521:
\[
505 \mod 521 = 505 \quad (\text{karena } 505 < 521)
\]
**Jadi, hasil dari (b) adalah 505.**

---

### (c) \( 74 \times 453 \) mod 521

Kita hitung \( 74 \times 453 \):
\[
74 \times 453 = 33522
\]
Sekarang lakukan mod 521:
\[
33522 \mod 521 = 33522 - (64 \times 521) = 33522 - 33344 = 178
\]
**Jadi, hasil dari (c) adalah 178.**

---

### (d) \( 51 / 293 \) mod 521

Untuk pembagian dalam \( GF(521) \), kita perlu mencari invers perkalian dari 293 mod 521. Gunakan algoritma Euclidean untuk mencari invers, atau kita bisa menggunakan fakta bahwa invers dari \( a \) dalam bidang hingga \( GF(p) \) adalah:
\[
a^{-1} \equiv a^{p-2} \mod p
\]
Karena \( p = 521 \), kita hitung \( 293^{519} \mod 521 \) untuk mendapatkan invers 293, lalu kalikan dengan 51.

Mari hitung:
\[
293^{-1} \mod 521
\]
Kemudian kalikan dengan 51.

(Saya akan menghitungnya).Setelah menghitung invers dari \( 293 \) mod \( 521 \), hasil dari \( 51 / 293 \) mod \( 521 \) adalah \( 226 \).

### Ringkasan hasil:
- (a) \( 500 + 69 \mod 521 = 48 \)
- (b) \( 73 - 89 \mod 521 = 505 \)
- (c) \( 74 \times 453 \mod 521 = 178 \)
- (d) \( 51 / 293 \mod 521 = 226 \)

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan?

Berikut adalah beberapa pertanyaan terkait untuk memperdalam pemahaman:
1. Bagaimana cara kerja algoritma Euclidean dalam mencari invers modulo?
2. Mengapa Fermat's Little Theorem digunakan untuk menghitung invers pada bidang hingga?
3. Apa arti dari "field" dalam konteks \( GF(521) \)?
4. Bagaimana perhitungan modulo memengaruhi aritmatika di \( GF(p) \)?
5. Apakah ada hubungan antara teori bilangan dan kriptografi yang terkait dengan \( GF(p) \)?

**Tip:** Dalam bidang hingga \( GF(p) \), setiap elemen non-nol memiliki invers perkalian, membuat bidang ini sangat penting dalam berbagai aplikasi matematika, termasuk kriptografi.

Temukan hasil aritmatika berikut ini pada GF(521).

(a) 500+69
(b) 73-89 (Catatan: -a adalah invers penjumlahan a)
(c) 74 * 453
(d) 51/293 (Catatan: 1/a adalah invers perkalian a)

Discover how to perform modular arithmetic in GF(521), a finite field. Learn the results of adding, subtracting, multiplying, and dividing numbers under modulus 521 using key concepts like Fermat's Little Theorem and modular inverses. Step-by-step solutions provided.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation