Mari kita hitung hasil operasi aritmatika pada bidang hingga $GF(521)$, atau Galois Field dengan modulus $521$.

Dalam $GF(521)$, semua perhitungan dilakukan dengan modulus 521.

(a) $500 + 69$ mod 521

$500 + 69 = 569$ Lakukan mod 521: $569 \mod 521 = 569 - 521 = 48$ Jadi, hasil dari (a) adalah 48.

---

(b) $73 - 89$ mod 521

Untuk pengurangan, tambahkan invers penjumlahan dari 89. Invers dari 89 dalam penjumlahan adalah: $-89 \mod 521 = 521 - 89 = 432$ Sekarang, hitung $73 + 432$ mod 521: $73 + 432 = 505$ Lakukan mod 521: $505 \mod 521 = 505 \quad (\text{karena } 505 < 521)$ Jadi, hasil dari (b) adalah 505.

---

(c) $74 \times 453$ mod 521

Kita hitung $74 \times 453$: $74 \times 453 = 33522$ Sekarang lakukan mod 521: $33522 \mod 521 = 33522 - (64 \times 521) = 33522 - 33344 = 178$ Jadi, hasil dari (c) adalah 178.

---

(d) $51 / 293$ mod 521

Untuk pembagian dalam $GF(521)$, kita perlu mencari invers perkalian dari 293 mod 521. Gunakan algoritma Euclidean untuk mencari invers, atau kita bisa menggunakan fakta bahwa invers dari $a$ dalam bidang hingga $GF(p)$ adalah: $a^{-1} \equiv a^{p-2} \mod p$ Karena $p = 521$, kita hitung $293^{519} \mod 521$ untuk mendapatkan invers 293, lalu kalikan dengan 51.

Mari hitung: $293^{-1} \mod 521$ Kemudian kalikan dengan 51.

(Saya akan menghitungnya).Setelah menghitung invers dari $293$ mod $521$, hasil dari $51 / 293$ mod $521$ adalah $226$.

Ringkasan hasil:

• (a) $500 + 69 \mod 521 = 48$
• (b) $73 - 89 \mod 521 = 505$
• (c) $74 \times 453 \mod 521 = 178$
• (d) $51 / 293 \mod 521 = 226$

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan?

Berikut adalah beberapa pertanyaan terkait untuk memperdalam pemahaman:

1. Bagaimana cara kerja algoritma Euclidean dalam mencari invers modulo?
2. Mengapa Fermat's Little Theorem digunakan untuk menghitung invers pada bidang hingga?
3. Apa arti dari "field" dalam konteks $GF(521)$?
4. Bagaimana perhitungan modulo memengaruhi aritmatika di $GF(p)$?
5. Apakah ada hubungan antara teori bilangan dan kriptografi yang terkait dengan $GF(p)$?

Tip: Dalam bidang hingga $GF(p)$, setiap elemen non-nol memiliki invers perkalian, membuat bidang ini sangat penting dalam berbagai aplikasi matematika, termasuk kriptografi.