Untuk menentukan nilai $p$ agar garis $x + y - p = 0$ memotong lingkaran $x^2 + y^2 - 2x - 4y + 3 = 0$ di dua titik berbeda, kita perlu menggunakan syarat diskriminan dari persamaan kuadrat yang muncul dari substitusi persamaan garis ke dalam persamaan lingkaran.

Langkah 1: Bentuk standar lingkaran

Lingkaran $x^2 + y^2 - 2x - 4y + 3 = 0$ bisa ditulis ulang dalam bentuk standar. Kita selesaikan terlebih dahulu:

$x^2 - 2x + y^2 - 4y = -3$

Lengkapi kuadrat untuk $x$ dan $y$:

$(x - 1)^2 - 1 + (y - 2)^2 - 4 = -3$

$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 2$

Ini adalah persamaan lingkaran dengan pusat $(1, 2)$ dan jari-jari $\sqrt{2}$.

Langkah 2: Substitusi persamaan garis

Dari persamaan garis $x + y - p = 0$, kita dapat mengekspresikan $y$ sebagai:

$y = p - x$

Substitusi $y = p - x$ ke dalam persamaan lingkaran $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 2$:

$(x - 1)^2 + ((p - x) - 2)^2 = 2$

Sederhanakan:

$(x - 1)^2 + (p - x - 2)^2 = 2$

Hitung masing-masing kuadrat:

$(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1$ $(p - x - 2)^2 = (p - 2 - x)^2 = (p - 2)^2 - 2(p - 2)x + x^2$

Sehingga persamaan menjadi:

$x^2 - 2x + 1 + x^2 - 2(p - 2)x + (p - 2)^2 = 2$

Gabungkan suku-suku sejenis:

$2x^2 - 2x - 2(p - 2)x + (p - 2)^2 + 1 = 2$

Sederhanakan lebih lanjut:

$2x^2 - 2(p + 1)x + (p - 2)^2 + 1 = 2$

$2x^2 - 2(p + 1)x + (p - 2)^2 - 1 = 0$

Langkah 3: Gunakan syarat diskriminan

Agar garis memotong lingkaran di dua titik berbeda, persamaan kuadrat tersebut harus memiliki dua solusi berbeda. Ini terjadi jika diskriminannya positif. Bentuk umum persamaan kuadrat adalah $ax^2 + bx + c = 0$, dengan:

$a = 2, \quad b = -2(p + 1), \quad c = (p - 2)^2 - 1$

Diskriminan ($\Delta$) dari persamaan kuadrat adalah:

$\Delta = b^2 - 4ac$

Substitusi nilai $a$, $b$, dan $c$:

[ \Delta = [-2(p + 1)]^2 - 4(2)[(p - 2)^2 - 1] ]

$\Delta = 4(p + 1)^2 - 8[(p - 2)^2 - 1]$

Sederhanakan:

$\Delta = 4(p + 1)^2 - 8(p^2 - 4p + 4 - 1)$

$\Delta = 4(p + 1)^2 - 8(p^2 - 4p + 3)$

$\Delta = 4(p^2 + 2p + 1) - 8(p^2 - 4p + 3)$

$\Delta = 4p^2 + 8p + 4 - 8p^2 + 32p - 24$

$\Delta = -4p^2 + 40p - 20$

Agar diskriminan positif:

$-4p^2 + 40p - 20 > 0$

Bagi seluruhnya dengan -4 (dan balik tanda ketidaksamaan):

$p^2 - 10p + 5 < 0$

Selanjutnya, selesaikan persamaan kuadrat $p^2 - 10p + 5 = 0$ menggunakan rumus kuadrat:

$p = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4(1)(5)}}{2(1)}$

$p = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 20}}{2}$

$p = \frac{10 \pm \sqrt{80}}{2}$

$p = \frac{10 \pm 4\sqrt{5}}{2}$

$p = 5 \pm 2\sqrt{5}$

Jadi, agar garis memotong lingkaran di dua titik berbeda, nilai $p$ harus berada di antara akar-akar persamaan ini:

$5 - 2\sqrt{5} < p < 5 + 2\sqrt{5}$

Kesimpulan:

Nilai $p$ yang memungkinkan garis memotong lingkaran di dua titik berbeda adalah $5 - 2\sqrt{5} < p < 5 + 2\sqrt{5}$.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan?

Pertanyaan terkait:

1. Bagaimana cara melengkapi kuadrat dalam persamaan lingkaran?
2. Apa syarat umum agar suatu garis memotong lingkaran di dua titik berbeda?
3. Bagaimana cara menghitung diskriminan dari persamaan kuadrat?
4. Bagaimana kita bisa menggunakan rumus kuadrat untuk mencari akar persamaan kuadrat?
5. Bagaimana jika garis tersebut tidak memotong lingkaran, apa syarat yang berlaku?

Tip:

Ketika bekerja dengan persamaan lingkaran dan garis, syarat diskriminan adalah cara yang kuat untuk menentukan hubungan geometris antara keduanya.