Bu integrali parçalara ayırma yöntemi kullanarak çözelim.

Verilen integral: $\int (x + 1)^2 e^x \, dx$

Parçalara ayırma yöntemi için, $u$ ve $dv$'yi seçmemiz gerekiyor. Bu seçimleri yapalım:

$u = (x + 1)^2$ $dv = e^x \, dx$

Öncelikle $u$'nun türevini ve $dv$'nin integralini hesaplayalım: $du = \frac{d}{dx} \left( (x + 1)^2 \right) dx = 2(x + 1) \, dx$ $v = \int e^x \, dx = e^x$

Artık parçalara ayırma formülüne uygulayabiliriz: $\int (x + 1)^2 e^x \, dx = (x + 1)^2 e^x - \int 2(x + 1) e^x \, dx$

Şimdi ikinci integrali çözelim: $\int 2(x + 1) e^x \, dx$

Bu integral için de tekrar parçalara ayırma yöntemini kullanacağız. Yeni seçimlerimiz: $u = 2(x + 1)$ $dv = e^x \, dx$

Yine $u$'nun türevini ve $dv$'nin integralini hesaplayalım: $du = 2 \, dx$ $v = \int e^x \, dx = e^x$

Parçalara ayırma formülünü tekrar uygulayalım: $\int 2(x + 1) e^x \, dx = 2(x + 1) e^x - \int 2 e^x \, dx$

Son integral oldukça basit: $\int 2 e^x \, dx = 2 \int e^x \, dx = 2 e^x$

Bu sonuçları birleştirelim: $\int 2(x + 1) e^x \, dx = 2(x + 1) e^x - 2 e^x$

İlk integrale geri dönelim: $\int (x + 1)^2 e^x \, dx = (x + 1)^2 e^x - \left( 2(x + 1) e^x - 2 e^x \right)$ $= (x + 1)^2 e^x - 2(x + 1) e^x + 2 e^x$

Bu ifadeyi düzenleyelim: $\int (x + 1)^2 e^x \, dx = e^x \left( (x + 1)^2 - 2(x + 1) + 2 \right)$ $= e^x \left( x^2 + 2x + 1 - 2x - 2 + 2 \right)$ $= e^x \left( x^2 + 1 \right)$

Sonuç olarak, $\boxed{\int (x + 1)^2 e^x \, dx = e^x (x^2 + 1) + C}$

Detaylar veya sorularınız var mı?

Sorabileceğiniz beş soru:

1. Parçalara ayırma yöntemi hangi durumlarda kullanılır?
2. İntegral alırken hangi teknikler yaygındır?
3. Parçalara ayırma yönteminde $u$ ve $dv$ nasıl seçilir?
4. Trigonometric substitution ve ne zaman kullanılır?
5. Parçalara ayırma yöntemiyle ilgili yaygın hatalar nelerdir?

İpucu: Parçalara ayırma yönteminde, $u$ ve $dv$ seçimlerini yaparken, $u$'nun türevi daha basit hale gelecek şekilde seçim yapın.