https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/1722103224061btgkadx6.png

Parçalara göre integral alma yöntemini kullanarak bu işlemi yap

Bu integrali parçalara ayırma yöntemi kullanarak çözelim. 

Verilen integral:
\[ \int (x + 1)^2 e^x \, dx \]

Parçalara ayırma yöntemi için, \( u \) ve \( dv \)'yi seçmemiz gerekiyor. Bu seçimleri yapalım:

\[ u = (x + 1)^2 \]
\[ dv = e^x \, dx \]

Öncelikle \( u \)'nun türevini ve \( dv \)'nin integralini hesaplayalım:
\[ du = \frac{d}{dx} \left( (x + 1)^2 \right) dx = 2(x + 1) \, dx \]
\[ v = \int e^x \, dx = e^x \]

Artık parçalara ayırma formülüne uygulayabiliriz:
\[ \int (x + 1)^2 e^x \, dx = (x + 1)^2 e^x - \int 2(x + 1) e^x \, dx \]

Şimdi ikinci integrali çözelim:
\[ \int 2(x + 1) e^x \, dx \]

Bu integral için de tekrar parçalara ayırma yöntemini kullanacağız. Yeni seçimlerimiz:
\[ u = 2(x + 1) \]
\[ dv = e^x \, dx \]

Yine \( u \)'nun türevini ve \( dv \)'nin integralini hesaplayalım:
\[ du = 2 \, dx \]
\[ v = \int e^x \, dx = e^x \]

Parçalara ayırma formülünü tekrar uygulayalım:
\[ \int 2(x + 1) e^x \, dx = 2(x + 1) e^x - \int 2 e^x \, dx \]

Son integral oldukça basit:
\[ \int 2 e^x \, dx = 2 \int e^x \, dx = 2 e^x \]

Bu sonuçları birleştirelim:
\[ \int 2(x + 1) e^x \, dx = 2(x + 1) e^x - 2 e^x \]

İlk integrale geri dönelim:
\[ \int (x + 1)^2 e^x \, dx = (x + 1)^2 e^x - \left( 2(x + 1) e^x - 2 e^x \right) \]
\[ = (x + 1)^2 e^x - 2(x + 1) e^x + 2 e^x \]

Bu ifadeyi düzenleyelim:
\[ \int (x + 1)^2 e^x \, dx = e^x \left( (x + 1)^2 - 2(x + 1) + 2 \right) \]
\[ = e^x \left( x^2 + 2x + 1 - 2x - 2 + 2 \right) \]
\[ = e^x \left( x^2 + 1 \right) \]

Sonuç olarak,
\[ \boxed{\int (x + 1)^2 e^x \, dx = e^x (x^2 + 1) + C} \]

Detaylar veya sorularınız var mı?

Sorabileceğiniz beş soru:
1. Parçalara ayırma yöntemi hangi durumlarda kullanılır?
2. İntegral alırken hangi teknikler yaygındır?
3. Parçalara ayırma yönteminde \( u \) ve \( dv \) nasıl seçilir?
4. Trigonometric substitution ve ne zaman kullanılır?
5. Parçalara ayırma yöntemiyle ilgili yaygın hatalar nelerdir?

İpucu: Parçalara ayırma yönteminde, \( u \) ve \( dv \) seçimlerini yaparken, \( u \)'nun türevi daha basit hale gelecek şekilde seçim yapın.

Learn how to solve the integral of (x + 1)^2 * e^x step-by-step using integration by parts. This problem involves applying the integration by parts method, choosing appropriate functions for u and dv. Suitable for undergraduate students studying calculus.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation