La integral que has subido es:

$\int \frac{(e^x + 1)^2}{e^x} \, dx$

Para resolverla por el método de sustitución, vamos a seguir estos pasos:

Paso 1: Simplificar la expresión

Primero, podemos reescribir el integrando:

$\frac{(e^x + 1)^2}{e^x} = \frac{e^{2x} + 2e^x + 1}{e^x}$

Dividimos cada término del numerador por $e^x$:

$= \frac{e^{2x}}{e^x} + \frac{2e^x}{e^x} + \frac{1}{e^x} = e^x + 2 + e^{-x}$

Paso 2: Integrar cada término por separado

Ahora tenemos una integral más simple:

$\int \left( e^x + 2 + e^{-x} \right) dx$

Cada término se puede integrar directamente:

$\int e^x \, dx = e^x, \quad \int 2 \, dx = 2x, \quad \int e^{-x} \, dx = -e^{-x}$

Paso 3: Combinar los resultados

Sumamos todas las integrales:

$e^x + 2x - e^{-x} + C$

donde $C$ es la constante de integración.

Solución final:

La integral es:

$\int \frac{(e^x + 1)^2}{e^x} \, dx = e^x + 2x - e^{-x} + C$

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta sobre los pasos? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas que pueden ayudarte a profundizar más:

1. ¿Cómo se utiliza el método de sustitución en integrales más complejas?
2. ¿Cómo afecta la exponencial $e^x$ en integrales de este tipo?
3. ¿Qué sucede si tienes una función con $e^{kx}$ en lugar de $e^x$?
4. ¿Cómo podrías resolver integrales de este tipo sin simplificar primero?
5. ¿Cómo se podría verificar el resultado derivando la solución?

Tip: Al resolver integrales, si es posible, siempre intenta simplificar el integrando antes de proceder con la integración. Esto te puede ahorrar tiempo y evitar pasos innecesarios.