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resolver esta integral por el metodo de sustitucion

La integral que has subido es:

\[
\int \frac{(e^x + 1)^2}{e^x} \, dx
\]

Para resolverla por el método de sustitución, vamos a seguir estos pasos:

### Paso 1: Simplificar la expresión
Primero, podemos reescribir el integrando:

\[
\frac{(e^x + 1)^2}{e^x} = \frac{e^{2x} + 2e^x + 1}{e^x}
\]

Dividimos cada término del numerador por \(e^x\):

\[
= \frac{e^{2x}}{e^x} + \frac{2e^x}{e^x} + \frac{1}{e^x} = e^x + 2 + e^{-x}
\]

### Paso 2: Integrar cada término por separado
Ahora tenemos una integral más simple:

\[
\int \left( e^x + 2 + e^{-x} \right) dx
\]

Cada término se puede integrar directamente:

\[
\int e^x \, dx = e^x, \quad \int 2 \, dx = 2x, \quad \int e^{-x} \, dx = -e^{-x}
\]

### Paso 3: Combinar los resultados
Sumamos todas las integrales:

\[
e^x + 2x - e^{-x} + C
\]

donde \(C\) es la constante de integración.

### Solución final:
La integral es:

\[
\int \frac{(e^x + 1)^2}{e^x} \, dx = e^x + 2x - e^{-x} + C
\]

---

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta sobre los pasos? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas que pueden ayudarte a profundizar más:

1. ¿Cómo se utiliza el método de sustitución en integrales más complejas?
2. ¿Cómo afecta la exponencial \(e^x\) en integrales de este tipo?
3. ¿Qué sucede si tienes una función con \(e^{kx}\) en lugar de \(e^x\)?
4. ¿Cómo podrías resolver integrales de este tipo sin simplificar primero?
5. ¿Cómo se podría verificar el resultado derivando la solución?

**Tip:** Al resolver integrales, si es posible, siempre intenta simplificar el integrando antes de proceder con la integración. Esto te puede ahorrar tiempo y evitar pasos innecesarios.

Learn how to solve the integral of (e^x + 1)^2 / e^x step-by-step using the substitution method. This problem involves simplifying exponential functions and integrating them. Suitable for college-level calculus students.

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