Berechne das Anfangswertproblem. y‘(x)=sin(x)+1 y(3)=4

Das Anfangswertproblem lautet:

\[
y'(x) = \sin(x) + 1 \quad \text{mit} \quad y(3) = 4
\]

### Lösung:

1. Zuerst integrieren wir die rechte Seite der Differentialgleichung, um \( y(x) \) zu finden. Dazu berechnen wir das unbestimmte Integral von \( \sin(x) + 1 \):

\[
y(x) = \int (\sin(x) + 1) \, dx = -\cos(x) + x + C
\]

Dabei ist \( C \) eine Integrationskonstante, die wir durch die Anfangsbedingung bestimmen müssen.

2. Nun verwenden wir die Anfangsbedingung \( y(3) = 4 \), um \( C \) zu berechnen:

\[
y(3) = -\cos(3) + 3 + C = 4
\]

\[
C = 4 + \cos(3) - 3 = 1 + \cos(3)
\]

3. Damit lautet die Lösung für \( y(x) \):

\[
y(x) = -\cos(x) + x + 1 + \cos(3)
\]

Dies ist die Lösung des Anfangswertproblems.

Möchtest du noch Details zu den Rechenschritten oder hast du Fragen?

Hier sind 5 Fragen, die darauf aufbauen:
1. Wie würde sich die Lösung ändern, wenn die Anfangsbedingung \( y(0) = 2 \) wäre?
2. Wie verhält sich die Funktion \( y(x) \) für sehr große Werte von \( x \)?
3. Was wäre die Lösung, wenn \( y'(x) = \cos(x) - 1 \) wäre?
4. Wie ändert sich die Lösung, wenn wir \( y'(x) = \sin(x) + 2 \) verwenden?
5. Wie lässt sich diese Methode auf andere Differentialgleichungen verallgemeinern?

**Tipp:** Bei Anfangswertproblemen spielt die Anfangsbedingung eine entscheidende Rolle, um die Integrationskonstante festzulegen.

This detailed solution explains how to solve the initial value problem y'(x) = sin(x) + 1 with the condition y(3) = 4. Learn about integration techniques and how to apply the initial condition to find the constant. Suitable for students in Grades 10-12.

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