Kita akan menyelesaikan persamaan diferensial linear pertama berikut dengan menggunakan metode faktor integrasi:

$y' + x^3 y = 4x^3$

Langkah-langkah:

1. Bentuk Standar Persamaan Linear

Persamaan ini sudah dalam bentuk standar persamaan diferensial linear:

$y' + P(x) y = Q(x)$

dengan $P(x) = x^3$ dan $Q(x) = 4x^3$.

2. Tentukan Faktor Integrasi

Faktor integrasi $\mu(x)$ adalah:

$\mu(x) = e^{\int P(x) \, dx} = e^{\int x^3 \, dx} = e^{\frac{x^4}{4}}$

3. Kalikan Persamaan dengan Faktor Integrasi

Kalikan persamaan diferensial dengan $\mu(x) = e^{\frac{x^4}{4}}$:

$e^{\frac{x^4}{4}} y' + e^{\frac{x^4}{4}} x^3 y = 4x^3 e^{\frac{x^4}{4}}$

Persamaan ini bisa ditulis ulang sebagai turunan dari produk:

$\frac{d}{dx} \left( e^{\frac{x^4}{4}} y \right) = 4x^3 e^{\frac{x^4}{4}}$

4. Integrasikan Kedua Sisi

Integrasikan kedua sisi terhadap $x$:

$e^{\frac{x^4}{4}} y = \int 4x^3 e^{\frac{x^4}{4}} \, dx$

Gunakan substitusi $u = \frac{x^4}{4}$, sehingga $du = x^3 dx$:

$\int 4x^3 e^{\frac{x^4}{4}} \, dx = \int 4 e^u \, du = 4e^u + C = 4e^{\frac{x^4}{4}} + C$

Sehingga:

$e^{\frac{x^4}{4}} y = 4e^{\frac{x^4}{4}} + C$

5. Selesaikan untuk $y$

Bagi kedua sisi dengan $e^{\frac{x^4}{4}}$:

$y = 4 + Ce^{-\frac{x^4}{4}}$

6. Tentukan Konstanta Integrasi

Gunakan nilai awal $y(0) = -1$:

$-1 = 4 + C e^0$

$-1 = 4 + C$

$C = -5$

7. Solusi Akhir

Jadi, solusi persamaan diferensial yang memenuhi nilai awal adalah:

$y(x) = 4 - 5e^{-\frac{x^4}{4}}$

---

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan?

Berikut 5 pertanyaan terkait untuk memperdalam pemahaman:

1. Bagaimana cara memilih metode penyelesaian yang tepat untuk persamaan diferensial tertentu?
2. Apa peran faktor integrasi dalam menyelesaikan persamaan diferensial linear?
3. Bagaimana jika nilai awal yang diberikan berbeda, bagaimana solusi berubah?
4. Apa hubungan antara bentuk solusi umum dan kondisi awal pada persamaan diferensial?
5. Bagaimana cara memverifikasi bahwa solusi yang diperoleh sudah benar?

Tip: Dalam persamaan diferensial linear, menemukan faktor integrasi adalah kunci untuk menyelesaikan persamaan secara efektif.