Tentukan solusi persamaan diferensial berikut yang memenuhi nilai awal yang diberikan 𝑦′ + 𝑥^3𝑦 = 4𝑥^3 , dimana 𝑦(0) = −1

Kita akan menyelesaikan persamaan diferensial linear pertama berikut dengan menggunakan metode faktor integrasi:

\[
y' + x^3 y = 4x^3
\]

Langkah-langkah:

### 1. Bentuk Standar Persamaan Linear
Persamaan ini sudah dalam bentuk standar persamaan diferensial linear:

\[
y' + P(x) y = Q(x)
\]

dengan \( P(x) = x^3 \) dan \( Q(x) = 4x^3 \).

### 2. Tentukan Faktor Integrasi
Faktor integrasi \( \mu(x) \) adalah:

\[
\mu(x) = e^{\int P(x) \, dx} = e^{\int x^3 \, dx} = e^{\frac{x^4}{4}}
\]

### 3. Kalikan Persamaan dengan Faktor Integrasi
Kalikan persamaan diferensial dengan \( \mu(x) = e^{\frac{x^4}{4}} \):

\[
e^{\frac{x^4}{4}} y' + e^{\frac{x^4}{4}} x^3 y = 4x^3 e^{\frac{x^4}{4}}
\]

Persamaan ini bisa ditulis ulang sebagai turunan dari produk:

\[
\frac{d}{dx} \left( e^{\frac{x^4}{4}} y \right) = 4x^3 e^{\frac{x^4}{4}}
\]

### 4. Integrasikan Kedua Sisi
Integrasikan kedua sisi terhadap \( x \):

\[
e^{\frac{x^4}{4}} y = \int 4x^3 e^{\frac{x^4}{4}} \, dx
\]

Gunakan substitusi \( u = \frac{x^4}{4} \), sehingga \( du = x^3 dx \):

\[
\int 4x^3 e^{\frac{x^4}{4}} \, dx = \int 4 e^u \, du = 4e^u + C = 4e^{\frac{x^4}{4}} + C
\]

Sehingga:

\[
e^{\frac{x^4}{4}} y = 4e^{\frac{x^4}{4}} + C
\]

### 5. Selesaikan untuk \( y \)
Bagi kedua sisi dengan \( e^{\frac{x^4}{4}} \):

\[
y = 4 + Ce^{-\frac{x^4}{4}}
\]

### 6. Tentukan Konstanta Integrasi
Gunakan nilai awal \( y(0) = -1 \):

\[
-1 = 4 + C e^0
\]

\[
-1 = 4 + C
\]

\[
C = -5
\]

### 7. Solusi Akhir
Jadi, solusi persamaan diferensial yang memenuhi nilai awal adalah:

\[
y(x) = 4 - 5e^{-\frac{x^4}{4}}
\]

---

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan?

Berikut 5 pertanyaan terkait untuk memperdalam pemahaman:
1. Bagaimana cara memilih metode penyelesaian yang tepat untuk persamaan diferensial tertentu?
2. Apa peran faktor integrasi dalam menyelesaikan persamaan diferensial linear?
3. Bagaimana jika nilai awal yang diberikan berbeda, bagaimana solusi berubah?
4. Apa hubungan antara bentuk solusi umum dan kondisi awal pada persamaan diferensial?
5. Bagaimana cara memverifikasi bahwa solusi yang diperoleh sudah benar?

**Tip:** Dalam persamaan diferensial linear, menemukan faktor integrasi adalah kunci untuk menyelesaikan persamaan secara efektif.

This solution provides a step-by-step method to solve the linear first-order differential equation y' + x^3y = 4x^3 with the initial condition y(0) = -1. Key concepts include the use of an integrating factor and solving for the constant using the initial condition. Suitable for Grades 11-12 or early undergraduate mathematics courses.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation