Turunan Implisit: Materi dan Contoh

Pengertian: Turunan implisit digunakan ketika fungsi tidak dapat atau tidak perlu diubah menjadi bentuk eksplisit (misalnya $y = f(x)$). Pada metode ini, kita menurunkan fungsi langsung dari bentuk aslinya yang mengandung variabel $x$ dan $y$.

Langkah-Langkah:

1. Turunkan kedua sisi persamaan terhadap $x$:
   • Setiap turunan dari $y$ dianggap sebagai fungsi dari $x$, sehingga kita menggunakan aturan rantai ($\frac{d}{dx}[y] = \frac{dy}{dx}$).
2. Selesaikan untuk $\frac{dy}{dx}$:
   • Setelah diferensiasi, pisahkan semua suku yang mengandung $\frac{dy}{dx}$ di satu sisi persamaan, lalu selesaikan untuk mendapatkan $\frac{dy}{dx}$.

---

Contoh Soal:

Diberikan persamaan $x^2 + y^2 = 25$. Cari turunan $\frac{dy}{dx}$ menggunakan turunan implisit.

Langkah 1: Turunkan kedua sisi terhadap $x$ $\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(25)$ $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$

Langkah 2: Selesaikan untuk $\frac{dy}{dx}$ Pisahkan suku-suku: $2y \frac{dy}{dx} = -2x$

Selesaikan $\frac{dy}{dx}$: $\frac{dy}{dx} = \frac{-2x}{2y} = \frac{-x}{y}$

---

Penjelasan Mudah:

• Saat menurunkan $y$, tambahkan $\frac{dy}{dx}$ karena $y$ tergantung pada $x$ (aturan rantai).
• Kemudian, manipulasi aljabar untuk menyelesaikan $\frac{dy}{dx}$.

---

Contoh Lain:

Persamaan $x^3 + y^3 = 6xy$.

Langkah 1: Turunkan kedua sisi $\frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(y^3) = \frac{d}{dx}(6xy)$ $3x^2 + 3y^2 \frac{dy}{dx} = 6(x \frac{dy}{dx} + y)$

Langkah 2: Kelompokkan suku yang mengandung $\frac{dy}{dx}$ $3y^2 \frac{dy}{dx} - 6x \frac{dy}{dx} = 6y - 3x^2$

Langkah 3: Faktor dan selesaikan $\frac{dy}{dx}$ $\frac{dy}{dx}(3y^2 - 6x) = 6y - 3x^2$ $\frac{dy}{dx} = \frac{6y - 3x^2}{3y^2 - 6x}$

---

Keuntungan Metode Turunan Implisit:

1. Tidak perlu menyelesaikan $y$ dalam bentuk eksplisit.
2. Mudah diterapkan pada persamaan yang rumit, seperti lingkaran, elips, atau hiperbola.

---

Pertanyaan Terkait:

1. Apa bedanya turunan eksplisit dan implisit?
2. Bagaimana cara menggunakan aturan rantai pada fungsi dengan tiga variabel?
3. Apa itu turunan parsial, dan apakah bisa diterapkan dalam metode implisit?
4. Bagaimana metode implisit digunakan dalam persamaan parametrik?
5. Bagaimana aplikasi turunan implisit dalam fisika (misalnya kecepatan dan percepatan)?

Tip: Saat menurunkan fungsi dengan banyak variabel, selalu ingat aturan rantai untuk menjaga akurasi.