För att skissa grafen till funktionen $f(x) = \sqrt{x^2 + 9}$, och ange eventuella lokala extrempunkter och asymptoter, går vi igenom funktionen steg för steg.

1. Funktionens form och definition

Funktionen är definierad som $f(x) = \sqrt{x^2 + 9}$. Eftersom $x^2 + 9 \geq 9$ för alla värden av $x$, så är uttrycket alltid positivt eller lika med 3. Därmed är funktionen alltid definierad för alla reella värden av $x$. Funktionen är dessutom alltid positiv.

2. Asymptoter

För stora värden av $x$, när $x \to \infty$ eller $x \to -\infty$, kan vi analysera funktionen:

• För $x \to \infty$, växer termen $x^2$ mycket snabbare än konstanten 9, så $f(x) \approx \sqrt{x^2} = |x|$.
• För $x \to -\infty$, gäller samma, dvs. $f(x) \approx |x|$.

Således, ingen vertikal asymptot finns, men en slutgiltig asymptot finns vid $f(x) \approx |x|$, vilket betyder att grafen för stora $|x|$-värden kommer att närma sig linjen $y = |x|$.

3. Derivata och lokala extrempunkter

För att hitta eventuella lokala extrempunkter, undersöker vi den första derivatan $f'(x)$. Funktionen $f(x) = \sqrt{x^2 + 9}$ kan skrivas om som: $f(x) = (x^2 + 9)^{1/2}$ Derivatan med kedjeregeln blir: $f'(x) = \frac{1}{2} (x^2 + 9)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}}$ För att hitta lokala extrempunkter sätter vi $f'(x) = 0$: $\frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}} = 0$ Detta ger $x = 0$, vilket innebär att den enda potentiella extrempunkten är vid $x = 0$.

För att undersöka om detta är en minimipunkt, tittar vi på tecknet på den andra derivatan: $f''(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}} \right)$ Det kan visserligen beräknas, men vi vet redan att $f'(x)$ växlar tecken vid $x = 0$ från negativt till positivt (eftersom funktionen ökar både för $x > 0$ och $x < 0$), vilket indikerar att $x = 0$ är en lokal minimumpunkt.

Vid $x = 0$ får vi: $f(0) = \sqrt{0^2 + 9} = \sqrt{9} = 3$ Så den lokala minimipunkten är vid $(0, 3)$.

4. Skiss av grafen

• När $x \to \infty$ eller $x \to -\infty$, närmar sig grafen linjen $y = |x|$.
• Funktionen är alltid positiv, och den har ett minimum vid $(0, 3)$.
• För $x = 0$, är värdet $f(0) = 3$, vilket innebär att grafen skär $y$-axeln vid $y = 3$.

Sammanfattning:

• Lokala extrempunkter: En lokal minimumpunkt vid $(0, 3)$.
• Asymptot: Grafen närmar sig linjen $y = |x|$ för $x \to \pm \infty$.

Vill du ha mer detaljerad information om något av stegen, eller hjälp med någon annan del av problemet? Här är några frågor som kan vara relaterade:

1. Hur kan man använda derivatan för att hitta extrempunkter för andra typer av funktioner?
2. Vad händer om man förändrar konstanten i funktionen, t.ex. $f(x) = \sqrt{x^2 + c}$?
3. Hur beräknar man den andra derivatan för denna typ av funktion?
4. Vad innebär det att en funktion närmar sig en asymptot för stora värden på $x$?
5. Kan vi förutsäga andra typer av extrema punkter för funktioner av denna form?

Tips: När du skissar en graf, börja alltid med att hitta symmetrier (som här med en funktion som är jämn), bestäm extrempunkter och asymptoter, och testa några specifika punkter för att få en bättre bild av funktionens beteende.