Vi ska analysera och skissa asymptoter och extrempunkter för funktionen

$f(x) = \sqrt{2x^2 + 5}.$

Steg 1: Asymptoter

För att hitta eventuella asymptoter, undersöker vi funktionen både för stora och små värden av $x$.

Horisontella asymptoter

För att undersöka om det finns horisontella asymptoter, ser vi på funktionen för stora värden av $x$.

1. När $x \to \infty$ eller $x \to -\infty$, dominerar termen $2x^2$ i uttrycket $2x^2 + 5$, så: $\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \sqrt{2x^2 + 5} = \lim_{x \to \infty} \sqrt{2x^2} = \sqrt{2} |x| \to \infty.$ Så, funktionen har ingen horisontell asymptot.

Vertikala asymptoter

För att undersöka vertikala asymptoter, letar vi efter värden av $x$ där funktionen är odefinierad. Eftersom uttrycket $2x^2 + 5$ är alltid positivt för alla värden av $x$, finns det inga vertikala asymptoter.

Steg 2: Extrempunkter

För att hitta extrempunkter, måste vi derivera funktionen och sätta den första derivatan lika med noll.

Funktionen är: $f(x) = \sqrt{2x^2 + 5}.$

Vi börjar med att derivera $f(x)$ med kedjeregeln:

$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{2x^2 + 5} \right) = \frac{1}{2\sqrt{2x^2 + 5}} \cdot \frac{d}{dx} (2x^2 + 5) = \frac{1}{2\sqrt{2x^2 + 5}} \cdot (4x).$

Alltså: $f'(x) = \frac{4x}{2\sqrt{2x^2 + 5}} = \frac{2x}{\sqrt{2x^2 + 5}}.$

För att hitta extrempunkter, sätter vi $f'(x) = 0$:

$\frac{2x}{\sqrt{2x^2 + 5}} = 0.$

Detta ger att $x = 0$ är en kritisk punkt.

Andra derivatan

För att avgöra om $x = 0$ är ett maximum eller minimum, kan vi använda den andra derivatan.

Första derivatan var: $f'(x) = \frac{2x}{\sqrt{2x^2 + 5}}.$

Vi deriverar igen med kvotregel och kedjeregeln för att få den andra derivatan: $f''(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{2x}{\sqrt{2x^2 + 5}} \right).$

Beräkningen av den andra derivatan ger att $f''(0) > 0$, vilket indikerar att det är en minimipunkt vid $x = 0$.

Vid $x = 0$ är: $f(0) = \sqrt{2(0)^2 + 5} = \sqrt{5}.$

Så, extrempunkten är en minimum vid $x = 0$ och $f(0) = \sqrt{5}$.

Sammanfattning:

• Horisontella asymptoter: Finns inga.
• Vertikala asymptoter: Finns inga.
• Extrempunkt: En minimipunkt vid $x = 0$, där $f(0) = \sqrt{5}$.

Vill du ha detaljer om någon del av analysen eller har du några frågor?

Relaterade frågor:

1. Hur skulle grafen för $f(x) = \sqrt{2x^2 + 5}$ se ut för små och stora $x$-värden?
2. Hur använder man kedjeregeln för att derivera funktioner som innehåller kvadratrötter?
3. Vad innebär det att en funktion har en extrempunkt, och hur bestämmer man om den är ett maximum eller minimum?
4. Hur skulle man kunna generalisera denna metod till andra funktioner av formen $f(x) = \sqrt{ax^2 + b}$?
5. Vad betyder det att $f(x)$ har inga asymptoter, och vad innebär det för grafens beteende?

Tips: När du deriverar funktioner som innehåller kvadratrötter, använd kedjeregeln noggrant för att ta hand om den inre funktionen.