Tentukan dan gambarkan himpunan pasangan berurutan (x,y) di R×R yang memenuhi: $$ \left\vert x\right\vert $$+ $$ \left\vert y\right\vert<=1 $$

Persoalan ini mengharuskan kita menentukan dan menggambarkan himpunan pasangan berurutan $(x, y)$ di bidang $ \mathbb{R} \times \mathbb{R} $ yang memenuhi persamaan ketaksamaan berikut:

\[
\left| x \right| + \left| y \right| \leq 1
\]

### Penyelesaian:

Ketaksamaan ini menunjukkan bahwa jumlah nilai mutlak dari $x$ dan $y$ tidak boleh lebih besar dari 1. Untuk memahami lebih lanjut, mari kita analisis lebih dalam:

1. **Nilai Mutlak $ \left| x \right| dan \left| y \right|**:
   - \( \left| x \right| $ adalah jarak antara $x$ dan titik nol pada sumbu $x$.
   - $ \left| y \right| $ adalah jarak antara $y$ dan titik nol pada sumbu $y$.

2. **Interpretasi Geometris**:
   Ketaksamaan $ \left| x \right| + \left| y \right| \leq 1 $ membentuk **daerah segiempat (belah ketupat)** di bidang koordinat.

   - Ketika $x = 0$, $ \left| y \right| \leq 1 $ sehingga $y$ dapat bernilai antara $-1$ hingga $1$.
   - Ketika $y = 0$, $ \left| x \right| \leq 1 $ sehingga $x$ dapat bernilai antara $-1$ hingga $1$.
   - Ketika $x$ dan $y$ tidak nol, pasangan nilai $x$ dan $y$ tetap dibatasi oleh jumlah nilai mutlak mereka yang tidak boleh lebih dari 1.

3. **Bentuk Batas Wilayah**:
   Jika kita menggambarkan ketaksamaan ini, maka grafiknya berupa sebuah **belah ketupat** dengan titik sudut di $ (1, 0) $, $ (-1, 0) $, $ (0, 1) $, dan $ (0, -1) $. Semua titik di dalam dan pada perbatasan belah ketupat ini memenuhi ketaksamaan.

### Gambaran Himpunan Pasangan Berurutan $(x, y)$:

Daerah yang memenuhi $ \left| x \right| + \left| y \right| \leq 1 $ adalah himpunan semua titik di dalam atau pada belah ketupat yang memiliki sumbu simetri pada sumbu $x$ dan $y$, serta dilambangkan sebagai:

\[
S = \left\{ (x, y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \mid \left| x \right| + \left| y \right| \leq 1 \right\}
\]

Untuk menggambarkannya, berikut adalah visualisasinya:

- **Sumbu $x$** dari $-1$ hingga $1$.
- **Sumbu $y$** dari $-1$ hingga $1$.
- Titik-titik yang membentuk belah ketupat terletak pada garis $ |x| + |y| = 1 $.

Gambarnya berupa belah ketupat yang diisi penuh (termasuk batasnya).

Apakah Anda ingin rincian lebih lanjut mengenai bagaimana proses ini dikerjakan? 

Berikut adalah beberapa pertanyaan terkait:
1. Bagaimana cara menyelesaikan soal dengan ketaksamaan nilai mutlak lainnya?
2. Bagaimana cara menemukan luas daerah yang dibatasi oleh belah ketupat ini?
3. Bagaimana jika ketaksamaan berubah menjadi $ \left| x \right| + \left| y \right| = 1 $?
4. Bagaimana memeriksa apakah titik tertentu berada dalam daerah ini?
5. Bagaimana hubungan ketaksamaan ini dengan bentuk lain dalam koordinat polar?

**Tip**: Ketika bekerja dengan nilai mutlak, sangat membantu untuk membayangkan jarak pada bidang koordinat untuk mempermudah visualisasi.

Tentukan dan gambarkan himpunan pasangan berurutan (x,y) di R×R yang memenuhi: $$ \left| x\right| + \left| y\right| \leq 1 $$

Learn how to graph the absolute value inequality |x| + |y| ≤ 1 in R². This problem explores the geometric interpretation of absolute values, forming a diamond-shaped region on the coordinate plane. Step-by-step explanations help you understand how to analyze and visualize the inequality. Suitable for Grades 9-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation