Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x,y)=2x+y

**Với điều kiện ràng buộc:** x2−y≤3

Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x, y) = 2x + y \) với điều kiện ràng buộc \( x^2 - y \leq 3 \), ta sẽ sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange.

1. **Xác định hàm Lagrange:**

   Gọi \( g(x, y) = x^2 - y - 3 \leq 0 \). 

   Ta thiết lập hàm Lagrange:
   \[
   \mathcal{L}(x, y, \lambda) = 2x + y + \lambda (x^2 - y - 3)
   \]

2. **Tính các đạo hàm riêng:**

   Ta cần tính các đạo hàm riêng của \( \mathcal{L}(x, y, \lambda) \) và đặt chúng bằng 0 để tìm điểm dừng:

   - Đạo hàm theo \( x \):
     \[
     \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 2 + \lambda \cdot 2x = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{x} \quad (x \neq 0)
     \]

   - Đạo hàm theo \( y \):
     \[
     \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 1 - \lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 1
     \]

   - Đạo hàm theo \( \lambda \):
     \[
     x^2 - y - 3 = 0 \Rightarrow y = x^2 - 3
     \]

3. **Giải hệ phương trình:**

   Từ \( \lambda = -\frac{1}{x} \) và \( \lambda = 1 \), ta có:
   \[
   -\frac{1}{x} = 1 \Rightarrow x = -1
   \]
   
   Thay \( x = -1 \) vào điều kiện ràng buộc \( y = x^2 - 3 \):
   \[
   y = (-1)^2 - 3 = 1 - 3 = -2
   \]

   Vậy, ta có điểm \((x, y) = (-1, -2)\).

4. **Tính giá trị của hàm số tại điểm tìm được:**

   Thay \((x, y) = (-1, -2)\) vào hàm \( f(x, y) = 2x + y \):
   \[
   f(-1, -2) = 2(-1) + (-2) = -2 - 2 = -4
   \]

5. **Kết luận:**

   Vậy, giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x, y) = 2x + y \) với điều kiện \( x^2 - y \leq 3 \) là \( \boxed{-4} \) khi \( (x, y) = (-1, -2) \).

Bạn có cần giải thích thêm không?

---

### Các câu hỏi liên quan:
1. Nếu thay đổi điều kiện ràng buộc thành \( x^2 - y \leq 4 \), giá trị nhỏ nhất của hàm số có thay đổi không?
2. Phương pháp nhân tử Lagrange là gì và tại sao nó hiệu quả trong bài toán ràng buộc?
3. Điều kiện ràng buộc \( x^2 - y \leq 3 \) đại diện cho miền nào trên mặt phẳng tọa độ?
4. Nếu bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất thay vì nhỏ nhất, cách giải có khác gì không?
5. Có phương pháp nào khác để giải bài toán này ngoài phương pháp nhân tử Lagrange không?

#### Mẹo:
Khi làm việc với bài toán ràng buộc, hãy kiểm tra xem có điểm nào trên biên thỏa mãn hàm số cần tối ưu không, vì đó thường là ứng viên cho giá trị cực trị.

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x,y)=2x+y với điều kiện ràng buộc: x^2−y≤3

Khám phá cách tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x,y)=2x+y với điều kiện ràng buộc x^2−y≤3. Bài toán sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange và dẫn đến giá trị tối thiểu là -4 tại điểm (-1, -2). Phù hợp cho học sinh lớp 11-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation