Để tìm giá trị nhỏ nhất của $a^2 + b^2 + c^2$ với điều kiện $a, b, c \geq 0$ và $a + b + c = 3$, chúng ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho ta rằng:

$(a^2 + b^2 + c^2)(1^2 + 1^2 + 1^2) \geq (a + b + c)^2$

Thay thế $a + b + c = 3$ vào bất đẳng thức, ta có:

$(a^2 + b^2 + c^2)(3) \geq (3)^2$

Suy ra:

$a^2 + b^2 + c^2 \geq \frac{9}{3} = 3$

Giá trị nhỏ nhất $a^2 + b^2 + c^2$ đạt được khi $a = b = c = 1$.

Kiểm tra:

$a = b = c = 1 \Rightarrow a^2 + b^2 + c^2 = 1^2 + 1^2 + 1^2 = 3$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $a^2 + b^2 + c^2$ là 3.

Nếu bạn cần thêm chi tiết hoặc có câu hỏi nào, hãy cho tôi biết! Dưới đây là một số câu hỏi mở rộng:

1. Bạn có muốn biết thêm về bất đẳng thức Cauchy-Schwarz không?
2. Có cần giải thích cách sử dụng các bất đẳng thức khác trong bài toán này không?
3. Bạn có muốn tìm hiểu về các phương pháp tối ưu hóa khác không?
4. Có thể bạn quan tâm đến ứng dụng của bài toán này trong thực tế?
5. Bạn có muốn thảo luận về các ví dụ khác liên quan đến bài toán này không?

Mẹo: Khi giải các bài toán tối ưu hóa có điều kiện, hãy luôn xem xét sử dụng các bất đẳng thức để tìm ra các giá trị cực trị.