definisikan suatu fungsi pada interval tertutup a) yang diskontinu di tiga titik, dan sebutkan jenis ketidak kontinuannya b) yang monoton yang mempunyai sebanyak terbilang titik diskontinu

**a) Fungsi yang diskontinu di tiga titik**

Misalkan kita mendefinisikan fungsi \( f(x) \) pada interval tertutup \( [0, 4] \), yang diskontinu di tiga titik: \( x = 1 \), \( x = 2 \), dan \( x = 3 \). Contoh fungsi tersebut bisa berupa:

\[
f(x) = 
\begin{cases} 
x^2 & \text{jika } x \neq 1, 2, 3 \\
1 & \text{jika } x = 1 \\
3 & \text{jika } x = 2 \\
5 & \text{jika } x = 3
\end{cases}
\]

Fungsi ini diskontinu di tiga titik, yakni \( x = 1 \), \( x = 2 \), dan \( x = 3 \). Jenis ketidakkontinuannya dapat diuraikan sebagai berikut:

1. **Pada \( x = 1 \)**: Ketidakkontinuan ini adalah **ketidakkontinuan lompat** karena terdapat perbedaan nilai fungsi di titik tersebut, yaitu \( f(1) = 1 \), namun \( \lim_{x \to 1^-} f(x) = 1^2 = 1 \) dan \( \lim_{x \to 1^+} f(x) = 1^2 = 1 \), tetapi \( f(x) \neq f(1) \).
   
2. **Pada \( x = 2 \)**: Ketidakkontinuan ini adalah **ketidakkontinuan lompat** juga, karena \( f(2) = 3 \), sedangkan \( \lim_{x \to 2^-} f(x) = 2^2 = 4 \) dan \( \lim_{x \to 2^+} f(x) = 2^2 = 4 \).

3. **Pada \( x = 3 \)**: Ketidakkontinuan ini juga merupakan **ketidakkontinuan lompat**, karena \( f(3) = 5 \), sementara \( \lim_{x \to 3^-} f(x) = 3^2 = 9 \) dan \( \lim_{x \to 3^+} f(x) = 3^2 = 9 \).

**b) Fungsi monoton dengan titik diskontinu terbilang**

Misalkan kita definisikan suatu fungsi monoton non-decreasing (tidak berkurang) yang memiliki sejumlah terbilang titik diskontinu pada interval tertutup \( [0, 4] \). Contoh fungsi tersebut adalah:

\[
g(x) = 
\begin{cases} 
x & \text{jika } x \neq 1, 2, 3 \\
1.5 & \text{jika } x = 1 \\
2.5 & \text{jika } x = 2 \\
3.5 & \text{jika } x = 3
\end{cases}
\]

Fungsi \( g(x) \) ini monoton non-decreasing, karena pada interval selain titik-titik \( x = 1, 2, 3 \), fungsi tidak pernah berkurang. Pada titik \( x = 1, 2, 3 \), terjadi **ketidakkontinuan lompat** yang terbilang, namun sifat monoton tetap terjaga karena fungsi hanya bertambah atau tetap di seluruh interval.

---

Apakah Anda memerlukan penjelasan lebih lanjut atau memiliki pertanyaan? 

Berikut 5 pertanyaan terkait:

1. Bagaimana cara mengidentifikasi jenis ketidakkontinuan suatu fungsi di titik tertentu?
2. Apa perbedaan antara ketidakkontinuan jenis lompat dan ketidakkontinuan jenis tak terdefinisi?
3. Bagaimana kita dapat membedakan fungsi monoton increasing dan decreasing dengan titik diskontinu?
4. Apakah ada hubungan antara fungsi monoton dan keberadaan titik diskontinu?
5. Bisakah kita memiliki fungsi dengan ketidakkontinuan selain lompat pada titik-titik tertentu dalam fungsi monoton?

**Tip**: Ketidakkontinuan lompat terjadi ketika nilai fungsi "melompat" di titik tertentu, tetapi nilai limit dari kiri dan kanan tetap ada meski tidak sama.

Pelajari bagaimana mendefinisikan fungsi yang diskontinu di tiga titik pada interval tertutup dan bagaimana menentukan jenis ketidakkontinuan. Temukan juga contoh fungsi monoton dengan titik diskontinu terbilang. Topik ini mencakup konsep-konsep penting seperti ketidakkontinuan lompat dan fungsi monoton.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation